Extremwertaufgabe: Länge und Tiefe des Beckens so, dass die Kosten für die Versiegelung minimal werden?

Question

Aufgabe:

Ein Löschwasserbecken (oben offen) soll die Form eines Quaders erhalten. Sein Inhalt beträgt 240m^3, die Breite 5m. Die Versiegelung des Bodens des Beckens kostet gegenüber dem Anstrich der Wände das Anderthalbfache.

Bestimmen Sie Länge und Tiefe des Beckens so, dass die Kosten für die Versiegelung der Innenfläche des Beckens minimal werden!

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bis zur Zielfunktion helfen? Bin irgendwie ratlos... :-(

Answer 1

a= Länge

t = Tiefe

V= a*5*t= 240

t= 48/a

O = a*5*1,5+ 2*(a*t+5*t)

O(a) = 7,5a+2(48+240/a) = 7,5a+96+480/a

O'(a)=0

7,5-480/a^2 =0

7,5a^2 = 480

a^2= 64

a= 8

t = 48/8 = 6

Comments

Hallo Andreas,
du hast glaube ich vergessen die
Kostenfunktion durch Multiplikation
der Grundfläche mit 1.5 aufzustellen.
Vergleiche meine vorbildliche Antwort.

Zur Erheiterung
Tip des Tages :
Wenn ich in New York bin jogge ich immer im Central Park. Unten am Hudson ist es mir zu windig.

---

Danke, aber das ist mir hinterher schon aufgefallen. Ich habs schon verbessert. :)

Spruch des Tages:

Lieber einen Urahn im Iran als Uran im Urin.

Answer 2

Ein Löschwasserbecken (oben offen) soll die Form eines Quaders erhalten. Sein Inhalt beträgt 240m3, die Breite 5m. Die Versiegelung des Bodens des Beckens kostet gegenüber dem Anstrich der Wände das Anderthalbfache.

V = b * l * t
240 = 5 * l * t

O = 2 * ( 5 * l * t ) + 2 * ( b * t ) + b * l

Kosten
K = 2 * ( 5 * l * t ) + 2 * ( b * t )  + b * l * 1.5

240 = 5 * l * t
t = 240 / ( 5 * l )
t = 48 / l
b = 5

K ( l ) = 2 * ( 5 * l * 48/l ) + 2 * ( 5 *48/l )  + 5 * l * 1.5
K ´ bilden
Extremwert berechen
K ´= 0

Zur Kontrolle l = 8 m
t = 6 m

Bitte nachrechnen.
Bei Bedarf nachfragen.