Zeigen Sie folgende Aussagen: Die Folgenglieder sind alle positiv.

Question

Gegeben sei die rekursiv definierte Folge

\( x_{1}:=1, \quad x_{n+1}:=\frac{x_{n}}{x_{n}+2} \quad n=1,2,3,4, \ldots \)

Zeigen Sie folgende Aussagen:

1. Die Folgenglieder sind alle positiv.

2. Die Folge ist monoton fallend.

Folgern Sie daraus, dass die Folge konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.

Answer 1

1. Vollständige Induktion

xn ist positiv für n = 1

x(n+1) = xn/(xn + 2) muss ebenfalls positiv sein als Quotient zweier positiver Werte.

2.

x(n+1) < xn
xn/(xn + 2) < xn
xn < xn(xn + 2) 

Das ist sicher erfüllt weil (xn + 2) als Faktor > 2 ist.

3. Grenzwert

Ich suche ein Wert den ich einsetze und es wieder der Wert heraus kommt.

x = x/(x + 2)
x(x + 2) = x
x^2 + 2x = x
x^2 + x = 0
x(x + 1) = 0
x = 0 oder x = -1

Hier kommt also nur als Grenzwert die 0 in Frage.