a)
[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[2, 1, 3, 0, 1, 0]
[1, 4, -1, 0, 0, 1]
I und II tauschen
[2, 1, 3, 0, 1, 0]
[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[1, 4, -1, 0, 0, 1]
II - 2*I
[1, 4, -1, 0, 0, 1]
[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, -7, 5, 0, 1, -2]
III + 7*II
[1, 4, -1, 0, 0, 1]
[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, 0, 19, 7, 1, -2]
19*I + III, 19*II - 2*III
[19, 76, 0, 7, 1, 17]
[0, 19, 0, 5, -2, 4]
[0, 0, 19, 7, 1, -2]
I - 4*II
[19, 0, 0, -13, 9, 1]
[0, 19, 0, 5, -2, 4]
[0, 0, 19, 7, 1, -2]
A^-1 = 1/19 * [-13, 9, 1; 5, -2, 4; 7, 1, -2]
b)
Der Rang ist die Anzahl unabhängiger Zeilen, hier also 3.
c)
Nur der Nullvektor wird auf den Nullvektor abgebildet
Kern(A) = [0; 0; 0]
Bild (A) = [-13, 5, 7], [9, -2, 1], [1, 4, -2]
d)
A * x = b
x = A^-1 * b = 1/19 * [-13, 9, 1; 5, -2, 4; 7, 1, -2] * [0; 1; 10] = [1; 2; -1]