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Gegeben sei die folgende Matrix

\( A=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & -1 \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3,3} \)

a) Bestimmen Sie \( A^{-1} \) mit dem Algorithmus aus der Vorlesung. Machen Sie die dabei von Ihnen angewandten elementaren Zeilenumformungen kenntlich.

b) Bestimmen Sie den Rang von \( A \).

c) Bestimmen Sie eine Basis von \( \operatorname{Kern}(A) \) und eine Basis von \( \operatorname{Bild}(A) \).

d) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor von \( \vec{b}:=\left[\begin{array}{r}0 \\ 1 \\ 10\end{array}\right] \) bezüglich der Basis

\( \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right]\right\} \)

Hinweis: Verwenden Sie zur Lösung von \( \mathrm{b} \) ), c) und d) Thr Ergebnis aus a).

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Woher sollen wir wissen, welchen Algorithmus ihr in der Vorlesung besprochen habt?

1 Antwort

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a)

[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[2, 1, 3, 0, 1, 0]
[1, 4, -1, 0, 0, 1]

I und II tauschen

[2, 1, 3, 0, 1, 0]
[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[1, 4, -1, 0, 0, 1]

II - 2*I

[1, 4, -1, 0, 0, 1]
[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, -7, 5, 0, 1, -2]

III + 7*II

[1, 4, -1, 0, 0, 1]
[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, 0, 19, 7, 1, -2]

19*I + III, 19*II - 2*III

[19, 76, 0, 7, 1, 17]
[0, 19, 0, 5, -2, 4]
[0, 0, 19, 7, 1, -2]

I - 4*II

[19, 0, 0, -13, 9, 1]
[0, 19, 0, 5, -2, 4]
[0, 0, 19, 7, 1, -2]

A^-1 = 1/19 * [-13, 9, 1; 5, -2, 4; 7, 1, -2]

b)

Der Rang ist die Anzahl unabhängiger Zeilen, hier also 3.

c)

Nur der Nullvektor wird auf den Nullvektor abgebildet

Kern(A) = [0; 0; 0]
Bild (A) = [-13, 5, 7], [9, -2, 1], [1, 4, -2]

d)

A * x = b
x = A^-1 * b = 1/19 * [-13, 9, 1; 5, -2, 4; 7, 1, -2] * [0; 1; 10] = [1; 2; -1]

Avatar von 487 k 🚀

Bist der Beste !! Danke vielmals.
Kann man nicht einfach die kanonische Basis {e1,e2,e3} des ℝ3 als Basis von Bild(A) wählen?

Ja. Das kann man auch. Ich wusste nicht was damit gemeint ist ich soll für die Lösung cvon c) die Lösung aus a) verwenden.

Vielleicht ist gemeint, dass aus der Invertierbarkeit von A unmittelbar folgt, dass Rang(A)=3, Kern(A)={(0,0,0}) und Bild(A) =ℝ3 ist?

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