4x2-9y2=36 ist die Funktionsgleichung einer Ellipse mit den Halbachsen 3 und 2. Das ist falsch, daher auch der Rest. Das Volumen des Rotationskörpers ist bei Ratation um die x-Achse ebenso groß, wie bei Rotation um die y-Achse, zumal die Integrationsgrenzen außerhalb der Halbachsen liegen:
Auflösen der Ellipsengleichung nach y: f(x)=±2·√((9-x2)/3)
π·∫f2(x) dx = π·∫(4·(9-x2)/9)dx=π·4x(27-x2)/27)
Einsetzen der Grenzen x=-3 und x=3 ergibt das Volumen 16π.