untervektorraum beispiel, erklärung

Question

ich soll herausfinden ob die folgende Teilmenge ein Untervektorräume von ℝ² ist.

{(x,x) x ≥ 0}
meiner meinung nach ist es einer. wie kann das begründen?


{(x,x) x ∈ ℝ}
ich denke es ist keiner, da der raum nicht abgeschlossen ist.

 

{(x,x) x ∈ ℝ} U {(x,x+1) | x ∈ ℝ}
hier habe ich leider keine idee.

 

ist das soweit richtig? und wie würdet ihr die letzte anpacken?

Comments

Umgekehrt ist es richtig.

Answer 1

die Additionsoperation muss mit den Vektorraumelementen eine Gruppe bilden. Aus diesem Grund ist {(x,x) x ≥ 0} kein Untervektorraum, da (-x, -x) nicht in dieser Menge liegt für alle x ≥ 0.

Hingegen ist {(x,x) x ∈ ℝ} selbstverständlich abgeschlossen bezüglich Addition. Es ist im Übrigen auch ein Untervektorraum.

Die Menge {(x,x) x ∈ ℝ} U {(x,x+1) | x ∈ ℝ} ist wegen

(a, a) - (b, b+1) = (a - b, a - b - 1)

nicht abgeschlossen und folglich kein Vektorraum.

MfG

Mister

Comments

ok.. danke dir. dann habe ich das gerade vertauscht.

zur kontrolle:

 

{(x,y) x,y ∈ℝ ∧ x²=y²}
ist keiner, da nicht abgesclossen.

 

{(x,y,z) x,y,z ∈ℝ ∧ x²+y²+z²=1}
hingegen ist einer.

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Du solltest nochmal ganz fundamental über den Abgeschlossenheitsbegriff nachdenken. Beide Beispiele sind kein Untervektorraum.

Also oben hast du schon richtig geschlussfolgert.

Beispiel 2 ("{(x,y,z) x,y,z ∈ℝ ∧ x²+y²+z²=1}") beschreibt die Kugeloberfläche der Einheitskugel im R^3. Der Nullvektor sollte zu jedem Vektorraum. gehören, er gehört aber nicht zur Kugel. Daher ist Beispiel 2 kein Vektorraum.

Hingegen erhält man über die Parametrisierung der Kugeloberfläche in Polarkoordinaten (r, φ, θ) in jeder Koordinate einen Untervektorraum. Insbesondere in den Koordinaten φ oder θ, dessen Abschluss eine Kreislinie auf der Kugel mit dem Radius r bedeutet.

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Könntest du die dritte Menge nochmal erläutern? Theoretisch kann man doch die Operationen durchführen, oder? Wie kann ich mir die Menge vorstellen, sind das nicht einfach zwei Geraden?

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ja im Parameterraum sind es zwei Geraden. Daher bilden sie auch einen Vektorraum. Das ist der Witz dabei.

MfG

Mister