Volumen des Drehkörpers: Vy

Question

Aufgabe:

y^2=9*(x-2)

mit x in(2/6)

Problem/Ansatz:

Berechnen das Volumen des Drehkörpers ,der bei der Kurven im angegebenen Intervall um die x-Achse bzw. um die y-Achse

Vx habe ich berechnet und das war richtig:

Vx=72pi

Leider mit Vy geht das nicht,

(y^2+18)/9 =x

x^2=(y^2+18)^2/81

(y^2+18)^2/81=y^4/81+4y^2+4

Integrieren: y^5/405+4y^3/3+4y

Im Intervall (2/6):

(7776/405+864/3+24/1)-(32/405+32/3+8)= und Antwort ist falsch

Im Buch steht Vy=150.4

Ich wäre Ihnen sehr dankbar, wenn Sie mir helfen könnten, meinen Fehler zu finden

Comments

Das hier

(y^{2}+18)^{2}/81=y^{4}/81+4y^{2}+4

muss

(y^{2}+18)^{2}/81=(y^{4}+36y^{2}+324)/81= y^{4}/81+4y^{2}/9+4

heißen.

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Kleiner Fehlerhinweis
Im Buch steht bestimmt
Vy = 150.4 * π

mfg Georg

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mit: y^4/81+4y^2/9+4

integrieren: y^5/405+4y^3/27+4y

Im Intervall (2/6)

7776/405+864/27+24=78.2

32/405+32/27+8=9.26

Es gibt auch keine richtige Lösung

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Hallo maxschneid,
leider kann ich dir nicht den Fehler in deiner
Rechnung sagen da ich die Rotation
um die y-Achse nicht verwende sondern
mit der Umkehrfunktion um die x-Achse
rechne.

Ansonsten : angegebene Funktion
y^2 = 9 * ( x - 2 )  | Wurzel
y = ± √ [ 9 * ( x - 2 ) ]
f ( x ) = ± √ [ 9 * ( x - 2 ) ]

Funktionsgraph von f ( x )

 

Um die x-Achse ist der Rotationsberech
x = 2 bis x = 6
Um die y-Achse zwischen y = -6 bis y = 6

mfg Georg

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Vielen Dank für Ihre Antwort georgborn,

Ich habe kleine Frage,um die y-Achse -6/6 zu bekommen,welche Funktion muss ich nullsetzen ?

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Siehe meinen Kommentar unten.

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Definitionsbereich f [ 2;6 ]
f ( 6 ) = + √  [ 9 * ( x - 2 ) ] = 6
f ( 6 ) = - √ [ 9 * ( x - 2 ) ] = - 6
Wertebereich [ -6 ; 6 ]
Der Defbereich der Funktion ist der
Wertebereich der Umkehrfunktion
Der Wertebereich der Funktion ist der
Defbereich der Umkehrfunktion

Definitionsbereich [ -6;6 ]
Wertebereich [ 2 ; 6 ]

y von -6 bis 6
( siehe den Graph )

Answer 1

Hi, mit der Funktion

$$  f(y) = \frac{y^4}{81}+\frac{4}{9}y^2+4 $$ ergibt sich $$ V_y = \pi \int_{-6}^6 [f(y)]^2 dy = \frac{752}{5} \pi \approx 150.4 \pi $$

Comments

Vielen Dank für die Antwort aber warum -6/6 ? Nicht 2/6

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\( (2 | 6) \) sind die x-Koordinaten, die müssen aber ebenfalls transformiert werden.

Aus \( [y(x)]^2 = 9 (x-2) \) folgt für \( x = 6 \) das gilt \( y(6) = \pm 6 \)