Begründen, dass die Seitenflächen eines Körpers nicht eben sind!

Question

Die quadratische und ebene Grundfläche eines Körpers hat die Eckpunkte

A₁(4,4,0) A₂(4,–4,0), A₃(–4,–4,0) und A₄(–4,4,0)

Die Deckfläche dieses Körpers ist ebenfalls eben und hat die Eckpunkte

B₁(2,3,4) B₂(3,–2,4) B₃(–2,–3,4) und B₄(–3,2,4)

Punkte mit gleichem Index sind mit einer geradlinigen Strecke verbunden. Damit entsteht ein "verdrehter Pyramidenstumpf".

Aufgabe:

Begründen Sie, dass die Seitenflächen des Körpers nicht eben sind!

(Tipp: "eben" kommt von "Ebene"!)

Um erlisch zu sein habe ich keine Ahnung wie oder wo an zu fangen.. könnte mir jemand mit dieser Aufgabe helfen?

In einer der Anderen aufgaben zu diesem "verdrehten Pyramidenstumpf" lautet es: "Begründen Sie mit einer Rechnung...", also glaube ich nicht dass bei meiner Aufgabe, die ich gestellt habe, rechnerisch beantwortet werden muss.

Ich freue mich schon auf alle Hilfe :)

Answer 1

Die Punkte A₁, B₁, A₂ und B₂ müssten in einer Ebene liegen. Bestimme eine Gleichung der Ebene, in der B₁, A₂ und B₂ liegen und zeige dass A₁ nicht Punkt dieser Ebene ist.

Comments

Um eine Ebene durch B₁, B₂ und A₂ zu bestimmen rechne ich:

E: \( \vec{x} \) = B₁ + r* (B₂ – B₁) + s*(A₂ – B₁)

Ist das richtig so?

Also dann:

E: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} \) + r* \( \begin{pmatrix} 1\\–5\\0 \end{pmatrix} \) + s*\( \begin{pmatrix} 2\\–7\\–4 \end{pmatrix} \)

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Ja. Das ist richtig.

Answer 2

A1 + r·(A2 - A1) + s·(B1 - A1) = B2
[4, 4, 0] + r·([4, -4, 0] - [4, 4, 0]) + s·([2, 3, 4] - [4, 4, 0]) = [3, -2, 4] → Keine Lösung

A2 + r·(A3 - A2) + s·(B2 - A2) = B3
[4, -4, 0] + r·([-4, -4, 0] - [4, -4, 0]) + s·([3, -2, 4] - [4, -4, 0]) = [-2, -3, 4] → Keine Lösung

... usw ...

Comments

So gehts! Vielen Dank für die Antwort :)

Sorry für die doofe Frage x)..... ich bin mir nicht ganz sicher... aber:

Ich hatte jetzt Die Ebene E: x⃗ = B1 + r* (B2 – B1) + s*(A2 – B1) umgerechnet zu

20x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 64

und habe dann A1 eingegeben mit dem Widerstand 96 ≠ 64... wäre das im Prinzip auch ein weg zu rechnen ob ein Punkt in einer ebene sitzt oder nicht?

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Ja. Mit der Koordinatenform ist es sogar etwas einfacher.

Ich wusste nicht das ihr die schon kennt und habe sie nicht benutzt

X = [4, 4, 0] + r·([4, -4, 0] - [4, 4, 0]) + s·([2, 3, 4] - [4, 4, 0])

X = [4, 4, 0] + r·[0, -8, 0] + s·[-2, -1, 4]

n = [0, -8, 0] ⨯ [-2, -1, 4] = [-32, 0, -16] = -16·[2, 0, 1]

2·x + z = 8

Punkt [3, -2, 4] einsetzen

2·3 + 4 = 8 → Falsch. Punkt liegt nicht in der Ebene.

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Okay! Ich benütze den ersten Rechenweg den Sie vorgeschlagen haben. Vielen vielen Dank für die Hilfe!!!! Ein wunderschönen Tag noch!! :))