Aloha :)
Du musst zunächst die Bedeutung des Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) verstehen. Er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen (ohne Zurücklegen). Dazu ein Beispiel mit 4 Buchstaben "A", "B", "C," und "D":
0 aus {"A","B","C","D"} ==> { }
1 aus {"A","B","C","D"} ==> { "A" | "B" | "C" | "D" }
2 aus {"A","B","C","D"} ==> { "AB" | "AC" | "AD" | "BC" | "BD" | "CD" }
3 aus {"A","B","C","D"} ==> { "ABC" | "ABD" | "ACD" | "BCD" }
4 aus {"A","B","C","D"} ==> { "ABCD" }
Also ist: \(\binom{4}{0}=1\;\;;\;\;\binom{4}{1}=4\;\;;\;\;\binom{4}{2}=6\;\;;\;\;\binom{4}{3}=4\;\;;\;\;\binom{4}{4}=1\)
Merkwürdig ist, dass \(\binom{4}{0}=1\) ist, obwohl man nichts ausgewählt hat. Das liegt am Mengenbegriff der Mathematik, die leere Menge ist auch eine Menge. Man wählt also die leere Menge aus und hat dann 1 Element ausgewählt. Diese Festlegung ist durchaus sinnvoll, verwirrt aber manchmal. Allgemein kannst du den Binomialkoeffizienten wie folgt berechnen:$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$
Die hypergeometrische Verteilung hat einen komplizierten Namen, aber da steckt nicht viel dahinter. Die Verteilung zählt nur Ausgänge eines Zufallsexperimentes. In den Zähler kommt die Anzahl der günstigen Ausgänge, in den Nenner kommt die Anzahl aller möglichen Ausgänge. Das wird an deinem Karten-Beispiel schön klar.
Von den 32 Karten gibt es 8 Herz-Karten. Es wird 3-mal ohne Zurücklegen gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei (mindestens) 2 Herz-Karten gezogen werden. Das heißt, du ziehst genau 2 Herz-Karten oder du ziehst genau 3 Herz-Karten, denn wenn du 3 gezogen hast, hast du insbesondere auch 2 gezogen. Ich schreibe erst die Formel hin, dann erkläre ich sie:
$$p(\ge 2 \text{Herz})=\frac{\binom{8}{2}\cdot\binom{24}{1}}{\binom{32}{3}}+\frac{\binom{8}{3}\cdot\binom{24}{0}}{\binom{32}{3}}=\frac{28\cdot24}{4960}+\frac{56\cdot1}{4960}=0,1468$$
Der erste Bruch beschreibt den Fall, dass genau 2 Herz-Karten gezogen werden. Es gibt insgesamt 8 Herz-Karten. Daraus müssen 2 gezogen werden. Dafür gibt es genau \(\binom{8}{2}\) Möglichkeiten. Aus den anderen 24 Karten (ohne Herz drauf) muss 1 gezogen werden, dafür gibt es genau \(\binom{24}{1}\) Möglichkeiten. Das Produkt aus beiden steht im Zähler und liefert die Anzahl der Kombinationen, bei denen du am Ende 2 Herz-Karten hast. Im Nenner steht \(\binom{32}{3}\) also die Anzahl der Möglichkeiten, die es insgesamt gibt, um aus 32 Karten genau 3 auszuwählen.
Der zweite Bruch beschreibt den Fall, dass genau 3 Herz-Karten gezogen werden. Es gibt insgesamt 8 Herz-Karten. Daraus müssen 3 gezogen werden. Dafür gibt es genau \(\binom{8}{3}\) Möglichkeiten. Aus den anderen 24 Karten (ohne Herz drauf) müssen 0 gezogen werden, dafür gibt es genau \(\binom{24}{0}\) Möglichkeiten. Das Produkt aus beiden steht im Zähler und liefert die Anzahl der Kombinationen, bei denen du am Ende 3 Herz-Karten hast. Im Nenner steht \(\binom{32}{3}\) also die Anzahl der Möglichkeiten, die es insgesamt gibt, um aus 32 Karten genau 3 auszuwählen.
