Verteilungsfunktion berechnen

Question

die Aufgabe lautet :

Für eine stetige Zufallsvariable X sei die Dichte

\( f^X : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x}{2} -\frac{1}{2} & 1 \leq x \leq 3 \\ 0 & \, \textrm{sonst} \\ \end{array} \right. \)

Geben Sie die Verteilungsfunktion F^X an.

Die Lösung ist

\( F^X = \left\{ \begin{array}{ll}

0 & x<1\\

\frac{x}{2} -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} & 1 \leq x \leq 3 \\ 1 &, \textrm{sonst} \\ \end{array} \right. \)

Und mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, woher das + 1/4 herkommt.

:)

Comments

Meintest Du das?

$$ F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x<1 \\ \frac{x}{2} -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} & 1 \leq x \leq 3 \\ 1 & \text{sonst} \\ \end{array} \right. $$

Answer 1

Hi,

$$  F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt $$  $$ = \int_{-\infty}^1 f(t) dt +  +  \int_{3}^x f(t) d $$

Ist \( x \le 1 \) gilt \( F(x) = 0 \)

Ist \( 1< x \le 3 \) gilt $$ F(x) = \int_{1}^x f(t) dt = \int_{1}^x \left(  \frac{t}{2} -\frac{1}{2} \right) dt = \left( \frac{t^2}{4}-\frac{t}{2} \right) \bigg|_1^x = \frac{x^2}{4} -\frac{x}{2} -\frac{1}{4}+\frac{1}{2} = \frac{x^2}{4} -\frac{x}{2} + \frac{1}{4} $$

Wahrscheinlich hast Du bei der Antwort was vergessen.

Für \( x \ge 3 \) gilt $$ F(x) = \int_{1}^x f(t) dt = \int_{1}^3 f(t) dt + \int_{3}^x f(t) dt = 1 + 0 = 1  $$