Aloha :)
Die DGL ist ja bereits vorgegeben:
$$y'=-\alpha\left(y-y_a\right)\;\;\Leftrightarrow\;\;y'+\alpha y=\alpha y_a$$Als erstes lösen wir die homogene DGL mittels Integration:
$$y_h'+\alpha y_h=0\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{y_h'}{y_h}=-\alpha\;\;\Leftrightarrow\;\;\ln(y_h)=-\alpha t+c_1\;\;\Leftrightarrow\;\;y_h=e^{-\alpha t}\cdot \underbrace{e^{c_1}}_{=:c}=c\,e^{-\alpha t}$$Zur Lösung der gegebene DGL tun wir so, als wäre die Konstante \(c=c(t)\) von \(t\) abhängig ("Variation der Konstanten"), leiten die homogene Lösung entsprechend ab
$$y(t)=c(t)\,e^{-\alpha t}\;\;;\;\;y'(t)=c'(t)e^{-\alpha t}-\alpha\,c(t)e^{-\alpha t}=c'e^{-\alpha t}-\alpha y$$und setzen sie in die DGL ein:
$$c'e^{-\alpha t}-\alpha y=-\alpha(y-y_a)\;\Leftrightarrow\;c'e^{-\alpha t}=\alpha y_a\;\Leftrightarrow\;c'=\alpha y_ae^{\alpha t}\;\Leftrightarrow\;c(t)=y_ae^{\alpha t}+c_2$$Damit haben wir bis auf die Integrationskonstante \(c_2\) als Lösung der DGL:
$$y(t)=\left(y_ae^{\alpha t}+c_2\right)e^{-\alpha t}=y_a+c_2e^{-\alpha t}$$Die Integrationskonstante \(c_2\) erhalten wir noch aus der Anfangsbedingung \(y(0)=y_0\):
$$y_0\stackrel{!}{=}y(0)=y_a+c_2\;\;\Leftrightarrow\;\;c_2=y_0-y_a$$Damit haben wir es geschafft:
$$y(t)=y_a+(y_0-y_a)e^{-\alpha t}$$
