Differentialgleichung - Heißer Tee

Question

Aufgabe:

Heißer Tee mit Temperatur y(t) (t = Zeit), die Außentemperatur y_außen sei konstant.

Physik: Der Verlauf von y(t) ist bestimmt durch:

a) Anfangstemperatur y₀: y(0) = y₀

b) Abfließen der Wärme: y'(t) = - α (y(t) - y_außen)

y'(t) = Änderung der Temperatur

- α (y(t) - yaußen) = abfließende Wärme (α > 0)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider Probleme bei der Berechnung dieser Differentialgleichung. Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Vielen Dank im Voraus und noch einen schönen Sonntag. :)

Comments

Am Einfachsten ist Trennung der Variablen.

Du brauchst Potenzreihen schon gar nicht , auch Variation der Konstanten ist hier nicht nötig , aber es ist Deine Wahl.

:-)

Answer 1

Aloha :)

Die DGL ist ja bereits vorgegeben:

$$y'=-\alpha\left(y-y_a\right)\;\;\Leftrightarrow\;\;y'+\alpha y=\alpha y_a$$Als erstes lösen wir die homogene DGL mittels Integration:

$$y_h'+\alpha y_h=0\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{y_h'}{y_h}=-\alpha\;\;\Leftrightarrow\;\;\ln(y_h)=-\alpha t+c_1\;\;\Leftrightarrow\;\;y_h=e^{-\alpha t}\cdot \underbrace{e^{c_1}}_{=:c}=c\,e^{-\alpha t}$$Zur Lösung der gegebene DGL tun wir so, als wäre die Konstante $c=c(t)$ von $t$ abhängig ("Variation der Konstanten"), leiten die homogene Lösung entsprechend ab

$$y(t)=c(t)\,e^{-\alpha t}\;\;;\;\;y'(t)=c'(t)e^{-\alpha t}-\alpha\,c(t)e^{-\alpha t}=c'e^{-\alpha t}-\alpha y$$und setzen sie in die DGL ein:

$$c'e^{-\alpha t}-\alpha y=-\alpha(y-y_a)\;\Leftrightarrow\;c'e^{-\alpha t}=\alpha y_a\;\Leftrightarrow\;c'=\alpha y_ae^{\alpha t}\;\Leftrightarrow\;c(t)=y_ae^{\alpha t}+c_2$$Damit haben wir bis auf die Integrationskonstante $c_2$ als Lösung der DGL:

$$y(t)=\left(y_ae^{\alpha t}+c_2\right)e^{-\alpha t}=y_a+c_2e^{-\alpha t}$$Die Integrationskonstante $c_2$ erhalten wir noch aus der Anfangsbedingung $y(0)=y_0$:

$$y_0\stackrel{!}{=}y(0)=y_a+c_2\;\;\Leftrightarrow\;\;c_2=y_0-y_a$$Damit haben wir es geschafft:

$$y(t)=y_a+(y_0-y_a)e^{-\alpha t}$$

Answer 2

Die Lösung lautet $$y(t) = y_0 e^{- \alpha t} + ( 1 - e^{ - \alpha t } ) y_{außen}$$ wie man durch nachrechnen sehen kann.

Man sieht daran, dass die Anfangstemperatur mit der Zeit abklingt und sich die Außentemperatur einstellt.

Substituiere $z(t) = y(t) - y_{außen}$ dann folgt $z'(t) = -\alpha z(t)$ mit der Lösung $z(t) = z_0 e^{-\alpha t}$ wobei $z_0 = y_0 - y_{außen}$ gilt. Jetzt die Substitution für $z(t)$ rückgängig machen. Dann erhält man die Lösung, ohen Potenzreihen, Variation der Konstanten. Ganz einfach!

Answer 3

Lösung durch Trennung der Variablen:

Answer 4

Ich löse das ganze mit Potenzreihen und benutze statt α das Symbol λ.