Wie untersucht man mathematisch auf Vorzeichenwechsel?

Question

Beim Untersuchen von der 1. Ableitung wird in meiner Literatur gesagt
"Wenn die erste und zweite Ableitung beide Null sind, so kann durch eine Untersuchung der ersten Ableitung auf Vorzeichenwechsel zwischen Hoch- Tief- und Sattelpunkten unterschieden werden."

Was ist mit "Untersuchung auf Vorzeichenwechsel" gemeint?
Eine Untersuchung des gezeichneten Graphen?
Oder ist es möglich mathematisch das Vorzeichenwechsel in der 1. Ableitung zu bestimmen?

Mein Ansatz wäre einfach ein Vergleich zu nehmen bei dem ich 2 Werte einsetze die Kleiner bzw. Größer als der x-Wert des Extremum wäre.

z.b nehmen wir an unser Extremum liegt bei x = 0

f'(-20) < f'(0) < f'(20) => Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv wäre dann Tiefpunkt.

Ist das mit "Untersuchung auf Vorzeichenwechsel" gemeint oder gibt es eine andere Mmöglichkeit Vorzeichenwechsel zu untersuchen?

Answer 1

Siehe

https://www.mathepower.com/vorzeichenwechselkriterium.php

Answer 2

ich erkläre es anhand eines Beispiels:

Betrachte \(f(x)=-\frac{1}{4}x^3+3x\). Diese Funktion hat mögliche Extrema bei \(\pm 2\). Wir übprüfen nun \(x_E=2\) und schauen, ob es sich um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt. Dafür stelle ich immer eine Tabelle auf:

Falls die Steigung positiv ist, zeichne ich einen Strich nach oben, wenn die Steigung neutral (heißt 0) ist, dann eine steigungslose Gerade und wenn die Steigung negativ ist, dann einen nach unten. Du erkennst jetzt schon den Verlauf der Kurve und weißt, dass bei \(x_E=2\) ein Hochpunkt liegt.

Comments

Ich warne vor diesem Vorgehen. Es genügt maximal zum Gewinnen einer Vermutung.

Selbst wenn du das betrachtete Intervall durch Verwendung von 1,99999 und 2,00001 wesentlich schmaler machen würdest, hast du keine Gewähr, dass innerhalb dieses schmalen Intervalls nicht noch mehrfache Änderungen des Verhaltens der Funktion passieren könnten.

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Ich kann dir die Angst etwas nehmen: Polynome, die nicht unbedingt den Grad \(n=100\) haben, sind ziemlich freundlich diesbezüglich und in der Schule sowieso.

Selbst wenn du das betrachtete Intervall durch Verwendung von 1,99999 und 2,00001 wesentlich schmaler machen würdest, hast du keine Gewähr, dass innerhalb dieses schmalen Intervalls nicht noch mehrfache Änderungen des Verhaltens der Funktion passieren könnten.

Weierstraß-Funktion :D

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Ich kann dir die Angst etwas nehmen: Polynome, die nicht unbedingt den Grad n=100 haben, sind ziemlich freundlich diesbezüglich und in der Schule sowieso.

Völlig richtig.

Bei Polynomen langt es mit dem Intervall links bis rechts der Nullstelle nur dafür zu sorgen das man nicht mehr als eine Nullstelle einschließt.

Und im Rahmen aller Schulaufgaben bei mir und meinen Schülern hatte ich bisher nie ein Polynom, bei dem zwei Nullstellen einen Abstand von weniger als 0.1 Einheiten hatten.

Und Schüler die Weierstraß- und ähnliche Funktionen Untersuchen würden hier auch nicht solche Fragen stellen. Bis dahin sollte man schon ein Mindestmaß an Verständnis für Funktionen und deren Untersuchung aufgebaut haben.

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Und im Rahmen aller Schulaufgaben bei mir und meinen Schülern hatte ich bisher nie ein Polynom, bei dem zwei Nullstellen einen Abstand von weniger als 0.1 Einheiten hatten.

Meine Schüler hatten so etwas schon, um ihnen genau diese dumme Trivialmathematik auszutreiben und um stattdessen kritischen Vernunftsgebrauch nahezubringen.

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Weißt du, wie man dden Vorzeichenwechsel an einer Stelle formal definiert? Wenn du dieses Verfahren als "Trivialmathematik" bezeichnest, dann ist die gesamte Analysis auf Trivialität aufgebaut.

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Weißt du, wie man den Vorzeichenwechsel an einer Stelle formal definiert?

Du weißt es offensichtlich nicht. Sonst würdest du nicht die sinngemäße Aussage "in der Schulmathematik passiert es nie, dass Nullstellen so eng beieinanderliegen" als Argument akzeptieren.

Enttäuschend.

Übrigens: Obwohl der Mathecoach mir widersprochen hat, hat er mir ungewollt recht gegeben:

Bei Polynomen langt es mit dem Intervall links bis rechts der Nullstelle nur dafür zu sorgen das man nicht mehr als eine Nullstelle einschließt.

Diesen Nachweis habe ich bei deiner Beispielaufgabe nicht gesehen.

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Enttäuschend ist das du nicht verstehst, dass wenn man bei einem Polynom die Nullstellen berechnen hat dann auch weiß wie nahe sie beieinander liegen.

Wie ich bereits sagte

Bei Polynomen langt es mit dem Intervall links bis rechts der Nullstelle nur dafür zu sorgen das man nicht mehr als eine Nullstelle einschließt.

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Die Ergänzung meines Kommentars und dein Kommentar haben sich gerade zeitlich überschnitten.

Du hast völlig recht.

Deshalb: Kannst du im Beitrag von rc irgendwo lesen, dass er dein Argument explizit erwähnt hat?

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@rc:

Lassen wir mal den Coach beiseite und untersuchen anhand deines Beispiels f(x)=-0,25x³+3x , wie eine mathematisch akzeptable Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums für die Stelle x=2 aussehen könnte.

Die Ableitung ist f'(x)=-0,75x²+3 , und sie hat an der Stelle x=2 den Wert 0.

Variante 1:

Für x >2 ist x²>4 , also ist  -0,75x²<-3 und somit -0,75x²+3<0.
Das kann man Schülern zumuten, oder?

Für x<2 ist nicht immer x²<4 (bei x<-2 ist x²>4), aber uns interessiert ja nur die unmittelbare Umgebung von x=2. Da genügt das Intervall 0<x<2.

Dort ist x²<4 , also ist  -0,75x²>-3 und somit -0,75x²+3>0.

Fazit: Rechts von x=2 gilt f'(x)<0, und links von x=2 gibt es ein Intervall, in dem komplett f'(x)>0 gilt. Also hat f'(x) an der Stelle x=2 einen Vorzeichenwechsel und f(x) demzufolge dort eine Extremstelle.

Variante 2: Die Ableitungsfunktion  f'(x)=-0,75x²+3  hat als Graphen eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (0|3). Damit hat sie zwischen x=0 und der Nullstelle x=2 positive Werte, bei x=2 den Wert 0 und für x>2 negative Werte 
--> Vorzeichenwechsel von f'(x) an der Stelle 2.

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Beide Varianten sind in meinen Augen absolut zulässig und ich weiß sehr wohl, wie der Vorzeichenwechsel definiert ist, allerdings bin ich auch ein Freund der Simplizität und überkompliziere Dinge nur bis zu einem Grad, der auch wirklich vonnöten ist. Dahingehend weiß ich, dass eine Funktion der Bauart \(f(x)=-0.25x^3+3x\) keine "unvorsehbaren" Kurvenverläufe hervorbringt - wobei man ja sogar die Nullstellen der Funktion sofort ablesen kann.

Eine Frage an dich: Wie würdest du bei dieser Funktion die Wendestellen ermitteln?

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f(x) = - 0.25·x^3 + 3·x

ist eine punktsymmetrische Polynomfunktion aufgrund der ungeraden Potenzen von x. Daher ist ein Wendepunkt der Koordinatenursprung. Da ein Polynom 3. Grades nur 2 Extrempunkte und nur einen Wendepunkt haben kann hat man den gefunden ohne irgendwas zu rechnen.

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... und was bedeutet das für die lokalen Extrema?

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Abakus prahlt in seinem Kommentar mit Wissen über quadratische Funktionen und Fachtermini, während er simultan so tut, als seien ihm Polynome fremd.

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Echt jetzt? Du bist auch viel alleine, oder?

Schluss, ich muss morgen früh raus.

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f(x) = - 0.25·x^3 + 3·x

Grundsätzlich verläuft die Funktion fallend von +∞ nach -∞. Das erkennt man an dem negativen Leitkoeffizienten.

Der Koordinatenursprung wird allerdings steigend durchlaufen. Damit hat man zwangsweise einen Tiefpunkt im III Quadranten und punktsymmetrisch dazu einen Hochpunkt im ersten Quadranten.

Auch das erkennt man ohne eine jegliche Rechnung.

Übrigens erkennt man Nullstellen mit Vorzeichenweches immer an ungeraden Vielfachheiten dieser Nullstelle.

Damit weiß man welche Nullstellen ein Vorzeichenwechsel haben und welche keine. Wenn man bei einem Polynom jetzt alle Nullstellen und das Verhalten im Unendlichen kennt, kann man sofort auch durch abzählen die Art des Vorzeichenwechsels angeben.

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Schluss, ich muss morgen früh raus.

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