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Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe.

"Untersuchen Sie ob sich folgende Funktion auf ganz IR² stetig fortsetzen lässt."

f(x,y) = (x²-y)/(x²+y)

Mein Vorgehen:

Die "Problemstellen" liegen im Nenner. Jetzt gibt es aber nicht nur eine Stelle, die es zu Untersuchen gilt, sondern sie liegen auf einer an der X-Achse gespiegelte Parabel 2.Ordnung.

Wie kann ich vorgehen? Am Besten einen Ansatz über Folgen.

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Z.B. gilt \(f\left(\tfrac1n,\tfrac1{n^2}\right)=0\)  und \(f\left(\tfrac1n,\tfrac1n\right)=\frac{1-n}{1+n}\)  für alle \(n\in\mathbb N\).
Die Grenzwerte für \(n\to\infty\) existieren, sind aber verschieden. Deswegen ist eine stetige Fortsetzung auf ganz \(\mathbb R^2\) nicht möglich. Damit sollte die Frage m.E. hinreichend beantwortet sein, auch wenn der Punkt \((0\vert0)\) nicht die einzige kritische Stelle ist.

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Mir stellt sich nur die Frage, warum man dieses Gegenbeispiel auf alle Punkte übertragen kann.

Lt. Fragestellung ist das nicht notwendig.

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