Fortsetzung stetige Abbildung durch Multiplikation

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass sich die Multiplikation NICHT zu einer stetigen Abbildung

                                     ‾

mult : R^2 ∪ {(∞, 0)} →  R fortsetzen lässt.

Problem/Ansatz:

versteht jemand den Beweis und kann mir hier helfen?

Comments

Ich verstehe den Beweis nicht, weil ich die Aufgabe nicht verstehe. Gibt's dazu einen Originaltext?

Answer 1

Gemeint ist, dass es kein \(p\in \bar\mathbb{R}\) gibt, so dass die Abbildung

        \(\begin{aligned}\operatorname{mult}:\ \mathbb{R}^2\cup\{(\infty,0)\}&\to \bar\mathbb{R}\\(a,b)&\mapsto\begin{cases}a\cdot b&(a,b)\in\mathbb{R}^2\\p&(a,b)=(\infty,0)\end{cases}\end{aligned}\)

stetig ist.

Sei dazu \(p\in \mathbb{R}\) . Finde Folgen \((a_n)_{n\in\mathbb{N}},\ (b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) in \(\mathbb{R}\) mit

        \(a_n\to \infty\) und \(b_n\to 0\) und \(a_nb_n \to p\)

für \(n\to \infty\).

Comments

kannst du ein bisschen mehr erklären wie man den Beweis führt?