stetige Fortsetzung in 0 bei Funktion untersuchen

Question

Aufgabe:

Ich soll untersuchen, ob eine Funktion eine stetige Fortsetzung in 0 besitzt.

Die Funktion lauet: f:(-\( \sqrt{2} \), 0) ∪ (0, ∞) → ℝ, f(x):= \( \frac{1}{x} \)(\( \frac{1}{(\sqrt{2}+x)^2}-\frac{1}{2} \))

Problem/Ansatz:

Meine Idee war jeweils das Verhalten der Funktion recht und links der 0 zu betrachten. Ich habe aber keine Ahnung, wie ich den Vorgang mathematisch korrekt formulieren soll.

Answer 1

Manchmal kann es auch alleine schon nützlich sein den obigen Ausdruck umzuformen:

\( \frac{1}{x}\cdot \Bigg(\frac{1}{(\sqrt{2}+x)^2}-\frac{1}{2} \Bigg)=\frac{1}{x}\cdot \frac{2-(\sqrt{2}+x)^2}{2\cdot (\sqrt{2}+x)^2}=\frac{1}{x}\cdot \frac{2-2-2\cdot \sqrt{2}\cdot x-x^2}{2\cdot (\sqrt{2}+x)^2}\\=\frac{1}{x}\cdot \frac{-2\cdot \sqrt{2}\cdot x-x^2}{2\cdot (\sqrt{2}+x)^2}=\frac{-2\cdot \sqrt{2}-x}{2\cdot (\sqrt{2}+x)^2}\)

Daraus wird sofort ersichtlich, dass dein Ausdruck in 0 stetig ist.

Nun gibt es aber auch Ausdrücke wie \(x\cdot \sin\big(\frac{1}{x}\big)\), die auch in 0 stetig sind. Das geht hier aber nicht mehr mit Umformen, aber mit Abschätzungen nach oben und unten. Man hätte hier also die Abschätzungskette \(-x=x\cdot (-1)\leq x\cdot \sin\big(\frac{1}{x}\big)\leq x\cdot 1=x\), sodass damit zwangsläufig \(\lim\limits_{x\to 0} x\cdot \sin\big(\frac{1}{x}\big)=0\) gilt.