@rc:
Lassen wir mal den Coach beiseite und untersuchen anhand deines Beispiels f(x)=-0,25x³+3x , wie eine mathematisch akzeptable Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums für die Stelle x=2 aussehen könnte.
Die Ableitung ist f'(x)=-0,75x²+3 , und sie hat an der Stelle x=2 den Wert 0.
Variante 1:
Für x >2 ist x²>4 , also ist -0,75x²<-3 und somit -0,75x²+3<0.
Das kann man Schülern zumuten, oder?
Für x<2 ist nicht immer x²<4 (bei x<-2 ist x²>4), aber uns interessiert ja nur die unmittelbare Umgebung von x=2. Da genügt das Intervall 0<x<2.
Dort ist x²<4 , also ist -0,75x²>-3 und somit -0,75x²+3>0.
Fazit: Rechts von x=2 gilt f'(x)<0, und links von x=2 gibt es ein Intervall, in dem komplett f'(x)>0 gilt. Also hat f'(x) an der Stelle x=2 einen Vorzeichenwechsel und f(x) demzufolge dort eine Extremstelle.
Variante 2: Die Ableitungsfunktion f'(x)=-0,75x²+3 hat als Graphen eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (0|3). Damit hat sie zwischen x=0 und der Nullstelle x=2 positive Werte, bei x=2 den Wert 0 und für x>2 negative Werte
--> Vorzeichenwechsel von f'(x) an der Stelle 2.