Tangentengleichung bestimmten (e-Funktion)

Question

f(x) = e^-x

Diese Funktion besitzt eine Tangente t durch den Punkt P (a | f(a)), die durch den Koordinatenursprung verläuft. Bestimmte t und p.

Ich habe die Tangentengleichung versucht, selber zu bestimmen indem ich den Punkt des Koordinatenursprungs ( 0 |0) genommen habe, aber es kam kein richtiges Ergebnis raus.

Answer 1

Die Tangentengleichung einer Funktion \(f\) an der Stelle \(a\) ist gegeben durch:

\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)

Nun soll die Tangente durch den Nullpunkt verlaufen, es muss also gelten

\(0=-e^{-a}(0-a)+e^{-a} \Leftrightarrow a=-1\)

Die Tangente an der Stelle \(x=-1\) besitzt diese Eigenschaft.

Comments

-1 hatte ich auch aber ich denke mal es ist falsch weil die tangente berührt ja die funktion an einem punkt und wenn man -x und die funktion zeichnet, berühren die sich nicht oder?

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Die Tangentengleichung lautet aber nicht \(y=-x\).

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wie lautet sie dann? dachte tangentgleichung ist mx +b

was wir erarbeitet haben ist f´(0) = -1 und weiter? wenn man das in mx+b einsetzt kommt wieder m = -1 raus und b=0

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Siehe meine Gleichung oben.

\(y=-e^{-(-1)}(x-(-1)) + e^{-(-1)}=-ex\)

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d.h. die aufgabe ist beantwortet mit y= -e*x?

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wenn ich das ausrechne, was du oben in der gleichung gemacht hast wo a = -1 rauskam, da kommt bei mir 0? also hab alles zsm gerechnet und in a = 0 eingesetzt oder wie?

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d.h. die aufgabe ist beantwortet mit y= -e*x?

Du musst nur noch die y-Koodinate des Punkts berechnen, falls noch nicht vorhanden.

wenn ich das ausrechne, was du oben in der gleichung gemacht hast wo a = -1 rauskam, da kommt bei mir 0? also hab alles zsm gerechnet und in a = 0 eingesetzt oder wie?

Dann hast du dich verrechnet. Alternativ:

\(y=mx+b\) mit \(m=-e\) ergibt für b: \(e=-e\cdot (-1) +b \Leftrightarrow b=0 \Rightarrow y=-ex+0=-ex\)

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danke für die antwort. warum für m = -e? du hast also durch das einsetzen von dem punkt des koordinatenursprungs (0|0) x = -1 herausgefunden und danach?

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x=-1 ist die x-Koordinate des Schnittpunkts von Tangente und e-Funktion. Und die Steigung der e-Funktion an dieser Stelle ist \(m=-e^{-(-1)} = -e^{1}=-e\).

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da frage ich mich, wie bist du auf diese x-koordinate gekommen? von wo hast du die entnommen? also wie bist du auf -1 gekommen? hast du die erraten? weil du hast oben geschrieben "Die Tangente an der Stelle x=−1 besitzt diese Eigenschaft." es hört sich also so an als hättest du geraten oder wie

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bitte um hilfe

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Ich hab die Bedingung, dass die Tangente durch den NP verlaufen muss in die Formel eine Zeile darüber eingesetzt.

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durch den NP verlaufen heißt man setzt x= 0 und y = 0 in die Formel y=f′(a)(x−a)+f(a) ein. jedoch bleiben die a stellen offen, wie rechnet man denn das aus? äquivalenzumformungen oder wie?

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Ja.

\(0=-e^{-a}(0-a)+e^{-a} \\ \Leftrightarrow 0 = e^{-a} a + e^{-a} \\ \Leftrightarrow 0 = e^{-a} (a+1) \\ \Rightarrow a+1=0 \\ \Leftrightarrow a=-1\)

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moment......

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ok vielen vielen dank ich werde das erstmal sacken lassen!