Negative Exponenten und Brüche: Wie kann man beweisen dass x^-1 = 1/x ist?

Question

Ich bin kein großer Fan davon mir einfach Sachen zu merken wenn ich sie vorher nicht verstanden habe.  Ich komme aber nicht darauf wie man diese Potenzregel beweisen kann?

Weiß jemand weiter?

Comments

x^{-n} := 1/x^n ist meines Erachtens eine Definition und kann nicht hergeleitet werden.

Answer 1

wenn man für eine reelle Zahl \(x\) die Definition der Potenz \(x^k\) auf die ganzen Zahlen erweitern möchte, so kann das auf den ersten Blick nicht so viel Sinn machen. Beispielsweise fragt man sich: Ist \(3^{-2}\) das Produkt von \(-2\) vielen \(3\)en?

Will man nicht von vorne beginnen und alle bisherigen Rechenregeln für \(k\in \mathbb{N}\) übertragen, ist es sinnvoll, die Definition für Potenzen  mit ganzzahligem Exponenten wie folgt zu fassen:

Sei \(x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\) und \(k\in \mathbb{Z}\). Für \(k\geq 0\) ist \(x^k\) bereits definiert. Für \(k<0\) legt man fest:$$x^k:=\frac{1}{x^{-k}}$$ In dieser Definition ist \(x^{-k}\) bereits definiert, da \(-k>0\) für \(k<0\) gilt. Wegen  \(x\neq 0\) ist auch \(x^{-k} \neq 0\).

Answer 2

Wir haben die Potenzgesetze für positive Exponenten kennengelernt.

Dividiert man zwei Potenzen mit der gleichen Basis, so werden die Exponenten subtrahiert.

Möchte man das diese Potenzgesetze universell gelten dann könnte man argumentieren

$$ \frac{1}{x^n} = \frac{x^0}{x^n} = x^{0 - n} = x^{-n} $$

Letztendlich sprach nichts gegen diese Festlegung und daher wurde x^{-n} einfach so definiert.

Comments

danke das hilft mir weiter :)

Answer 3

Aloha :)

Für \(x\ne0\) gilt:$$1=x^0=x^{n-n}=x^n\cdot x^{-n}\;\;\Rightarrow\;\; x^{-n}\cdot x^n=1\;\;\Rightarrow\;\;\frac{x^{-n}\cdot x^n}{x^n}=\frac{1}{x^n}$$$$\Rightarrow\;\;x^{-n}=\frac{1}{x^n}$$

Comments

Diese Schlussfolgerungen gelten ja wohl eher in der umgekehrten Richtung !

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Ja, sie gelten auch in umgekehrter Richtung, daher hätte ich auch \(\Leftrightarrow\) schreiben können, ist aber zum Beweis nicht nötig.

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Nein.

Sie gelten nur in anderer Richtung.

Um z.B. die Rechenregel  a^(n-n) = a^n * a^-n  für positive n zu beweisen, muss vorher bekannt sein, was denn a^-n überhaupt bedeuten soll.
a^-n  =  1/a^n  lässt sich nicht beweisen sondern ist eine reine Definition.
Die Definition ist allerdings nicht willkürlich gewählt, sondern so, dass unter Zugrundelegung eben dieser Definition bewiesen werden kann, dass die bekannten Rechenregeln für positive Exponenten auch für negative weiterhin gültig sind.

Das Definieren von Schreibweisen wird dem Postulieren von Regeln vorgezogen.

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Wenn sie nur in anderer Richtung gelten, fängt deine Folgerungskette mit \(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\) an. Dann brauchst du aber nichts weiter zu zeigen.

Ich habe gezeigt, was \(x^{-n}\) sein muss, wenn die Potenzgesetze auch für negative ganzzahlige Exponenten weiterhin gültig sein sollen. Daher habe ich die Potenzgesetze als gültig vorausgesetzt.

Answer 4

Die Regel:

'Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.'

erfordert die Festlegung \( x^{-1} \) =\( \frac{1}{x} \).