Kurvenanpassung bei ganzrationalen Funktionen

Question

Aufgabe:

Eine Rutsche in ein Schwimmbecken soll aus drei Blechteilen hergestellt werden. Das erste Blechteil, von A nach B, ist waagerecht eben, das dritte, von C nach D, ist auch eben und wird mit einer Steigung von 150% montiert. Zwischen diesen beiden Blechen soll ein gebogenes Teil knickfrei montiert werden. Bestimmen Sie jeweils eine ganzrationale Funktion 3.Grades, deren Graph den Verlauf dieses Bleches zwischen B und C beschreibt, wenn der Koordinatenursprung in Punkt C liegt.

Die Koordinaten lauten: (wobei B und C entscheidend sind)
A (-2/-1)
B (-1/-1)
C (0/0)
D (1/1,5)

Problem/Ansatz:

Das ganze soll mithilfe von linearen Gleichungssystemen gelöst werden.
Hier ist mein Ansatz:

f(x)= ax³ + bx² +cx+d

für C (0/0): f(0)= a*0³+b*0²+c*0 +d= 0
                  → d= 0
für B (-1/-1): f(-1)= a*-1³+b*-1²+c*-1+d= -1
                     → a+b+c= -1
m(Steigung)=1,5 für C (0/0): f'(0)= 3a*0²+2b*0+c= 1,5
                                              ----> c= 1,5

m(Steigung)=0 für B (-1/-1): f'(-1)= -3a-2b-c= 0

Zusammengefasst:
d= 0  ,  c= 1,5  ,  a+b+c= -1

LGS:
a+b= -2,5          -3a-2b= 1,5                        b= -2,5-3,5
b= -2,5-a           -3a-2(-2,5-a)= 1,5               = -6
                          -a+5= 1,5                                   
                          -a= -3,5
                           a= 3,5
Die Endgleichung müsste f(x)= 3,5x³-6x²+1,5x lauten, jedoch ist diese falsch.
Was habe ich falsch gemacht?
Hat sich eventuell ein Denkfehler eingeschlichen?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

ich habe die Richtigkeit deiner Bedingungen nicht überprüft, aber du hast einige Vorzeichenfehler gemacht.

für B (-1/-1): f(-1)= a*-1^3+b*-1^2+c*-1+d= -1
                    → a+b+c= -1

 Hier erhalte ich

-a + b - c + d = -1,

da (-1)^3 = -1

m(Steigung)=0 für B (-1/-1): f'(-1)= -3a-2b-c= 0

Hier komme ich auf

3a - 2b + c = -1

und somit für das gesamte LGS auf

a = -0.5 ∧ b = 0 ∧ c = 1.5 ∧ d = 0

Comments

erst einmal
Könntest du mir bitte kurz erläutern wie du auf 3a - 2b + c = -1 gekommen bist?
Irgendwie blicke ich da nicht ganz so recht durch.

Wenn ich die Variabeln in die allgeimeine Funktionsgleichung 3.Grades setzen würde, bedeute dies ja f(x)= -0,5x³ + 0x² + 1,5x
Ich habe mir den Graph im GTR zeichnen lassen und tatsächlich ist das das richtige Ergebnis!

Es wäre sehr nett von dir, wenn du mir eventuell noch erklären könntest, wie du auf die Variabeln a und b gekommen bist. Die Variabeln d und c habe ich ja richtig ermittelt.

LG
Henriette

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Sorry, da habe ich einen Fehler gemacht. Es sollte 3a - 2b + c = 0 heißen. Gut, dass du nochmal nachgefragt hast.

Falls du trotzdem wissen willst, wie ich darauf gekommen bin:

$$ f‘(-1) = 0 \rightarrow 3a \cdot (-1)^{2} + 2b \cdot (-1) + c = 0 $$

$$ \rightarrow 3a - 2b + c = 0 $$

Da wir c = 1.5 und d = 0 schon ermittelt haben, müssen wir nur noch das LGS mit den beiden Gleichungen

I.  -a + b - 1.5 + 0 = -1

II.  3a - 2b + 1.5 = 0

lösen.

Das kannst du zB machen, indem du die erste Gleichung mit 3 multiplizierst und zur zweiten addierst. Dann erhältst du

b = 0

Nun kannst du b, c und d in eine Gleichung einfügen, um a zu ermitteln:

-a + 0 - 1.5 + 0 = -1 => a = -0.5

Answer 2

fo(x):=(a_3 * x^(3)) + (a_2 * x^(2)) + (a_1 * x) + a_0

Die Gleichungen

{fo(x(B)) =y(B), fo(0) = 0, fo'(0) = y(D)/x(D), fo'(x(B)) = 0}

===>

{a_0 - a_1 + a_2 - a_3 = (-1),

 a_0 = 0,

 a_1 = 3 / 2,

 a_1 - (2 * a_2) + (3 * a_3) = 0}

===>

\(f(x) \, :=  \, -\frac{1}{2} \; x^{3} + \frac{3}{2} \; x\)

Comments

Vielen Dank!
Das Ergebnis ist zwar richtig, jedoch kann ich leider nicht nachvollziehen, wie du darauf gekommen bist...

LG
Henriette

Answer 3

Wie sieht die Rutsche aus ?

 

Comments

dann sind
f ( -1) = -1
f ´( -1 ) = 0
f ( 0 ) = 0
f ´ ( 0 ) = 1.5

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Vielen Dank für deine Antwort, jedoch habe ich bereits die Lösung und meinen Denkfehler erkannt. Und die y-Werte zu den x-Werten bzw. die Steigung habe ich ja bereits vorher herausgefunden, also bringt mir deine Antwort leider nichts.