Steckbrief/ Kurvenanpassung/ Funktionen scharen

Question

Aufgabe:

siehe Anhang

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand bei meinen Hausaufgaben helfen?

Text erkannt:

6. Bestimmen Sie Werte von a so, dass der Graph der Funktion \( f_{a} \) mit \( f_{a}(x)=x^{3}-2 a x^{2}+a^{2} x \)
a) den Punkt \( P(2 \mid 2) \) enthält.
b) einen Tiefpunkt an der Stelle \( x=-1 \) hat.
c) an der Stelle \( x=2 \) die Steigung 5 hat.
d) an der Stelle \( x=6 \) einen Wendepunkt hat.
e) einen Sattelpunkt hat.
f) die Nullstellen \( x_{1}=0 \) und \( x_{2}=4 \) hat.
Hinweise:
a) siehe Aufgabe 2
b) notw. Bed. für Tiefpunkt
c) Steigung \( \rightarrow \) 1. Ableitung
d) notw. Bedingung für Wendepunkt
e) notw. Bedingungen für Sattelpunkt

Answer 1

f ( x ) = x^3 - 2ax^2 + a^2 * x

f ( 2 ) = 2^3 - 2a*2^2 + a^2*2 = 2
8 - 8a + 2 * a^2 = 2
2a^2 - 8a = -6
a^2 - 4a = -3 | quadratische Ergänzung
a^2 - 4a + 2^2 - 2^2 = -3
( a - 2)^2 = 1
a - 2 = ± 1
a = + 3
und
a = + 1

Bei welcher Aufgabe hast du noch Schwierigkeiten ?
Ich helfe gern weiter.

Comments

f ( x ) = x^3 - 2ax^2 + a^2x
f ´( x ) = 3x^2 - 2ax + a^2

b.) f ´( -1 ) = 3*(-1) ^2 - 2a*(-1) + a^2 = 0
c.) f ´( 2 ) = 3 * 2^2 - 2a * 2 + a^2 = 5

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Lieben Dank für deine Hilfe! Am besten bei allen Aufgaben. Ich habe zwar einen Ansatz, bin mir aber überall sehr unsicher.

Lg Sina

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Kannst du mir bitte noch bei Aufgabe e und f helfen? Die anderen Aufgaben konnte ich lösen.

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d) an der Stelle x=6  einen Wendepunkt
hat.
f ´´( x ) = 6x - 2a
f ´´( 6 ) = 6*6 - 2a = 0

e) einen Sattelpunkt hat.
Sattelpunkt :
f´´ = 0 Wendepunkt und
f ´= 0  keine Steigung

f ´´( x ) = 6x - 2a = 0
f ´( x ) = 3x^2 - 2ax + a^2

x = 2a / 6
Einsetzen
f ´( x ) = 3x^2 - 2ax + a^2 = 0
3*(2a/6)^2 - 2a*(2a/6) + a^2 = 0
a = 0
x = 2a/6
x = 0

f ( x ) = x^3
Sattelpunkt ( 0 | 0)

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f ( x ) = x^3 - 2ax^2 + a^2 * x

f ( 0 ) = 0^3 - 2a0^2 + a^2 * 0  = 0
Stimmt auffallend
x = 0
N ( 0 | 0 )

F ( 4 )  = 4^3 - 2a*4^2 + a^2 * 4  = 0
a = 4
f ( x ) = x^3 - 2*4*x^2 + 4^2 * x
f ( x ) = x^3 - 8 * x^2 + 16 * x
N ( 4 | 0 )