Aloha :)
zu a)
Hier musst du 3 Flächen erkennen:
- Fläche 1 ist das ungefärbte Dreieck rechts unten in der Figur mit den beiden Schenkeln \(r\) und der Diagonalen. Dieses Dreieck ist so groß wie das halbe Quadrat, also \(F_1=\frac{1}{2}\,r^2\).
- Fläche 2 ist der Viertel-Kreis mit dem Mittelpunkt rechts unten (rotes Kreuz) und dem Radius \(r\). Seine Fläche ist \(F_2=\frac{1}{4}\pi\,r^2\).
- Fläche 3 ist der Halb-Kreis mit dem Mittelpunkt auf der Diagonalen (rotes Kreuz). Die Diagonale hat nach Pythagoras die Länge \(d=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt2\,r\). Der Halb-Kreis hat also den Radius \(\frac{1}{2}\sqrt2\,r\). Daher ist \(F_3=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{1}{2}\sqrt2\,r\right)^2=\frac{1}{4}\pi\,r^2\).
Die schraffierte Fläche ist nun: \(F=F_3-(F_2-F_1)=\frac{\pi}{4}r^2-\left(\frac{\pi}{4}r^2-\frac{1}{2}r^2\right)=\frac{1}{2}r^2\).
zu b)
Die ist jetzt einfach. Zieh eine Diagonale durch das Quadrat von links unten nach rechts oben. Du erkennst, dass die gefärbte Fläche so groß ist wie der Halbkreis mit dem Mittelpunkt auf der Diagonalen. Diese Fläche haben wir bei (a) aber schon als \(F_3=\frac{1}{4}\pi\,r^2\) ermittelt.
zu c)
Hier hast du es mit 2 Flächen zu tun.
Fläche 1 ist der Halbkreis mit dem Mittelpunkt auf der Diagonalen. Die Länge dieser Diagonalen ist nach Pythagoras \(d=\sqrt{r^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{5r^2}{4}}=\sqrt5\,\frac{r}{2}\). Die Fläche des Halbkreises ist daher \(F_1=\frac{1}{2}\pi\left(\sqrt5\,\frac{r}{2}\right)^2=\frac{5}{8}\pi\,r^2\).
Fläche 2 ist das rechtwinklige Dreieck links oben in dem Rechteck mit den Seitenlängen \(r\) und \(\frac{r}{2}\). Es ist so groß wie das halbe Rechteck, also ist \(F_2=\frac{1}{2}r\,\frac{r}{2}=\frac{r^2}{4}\).
Die gefärbte Fäche ist nun: \(F=F_1-F_2=\frac{5}{8}\pi\,r^2-\frac{r^2}{4}=\left(\frac{5}{8}\pi-\frac{1}{4}\right)\,r^2\).
zu d)
Diesmal wieder 3 Flächen:
Fläche 1 ist der Halb-Kreis mit Radius \(\frac{r}{2}\), der am oberen roten Kreuz angesetzt wird. Seine Fläche ist \(F_1=\frac{1}{2}\pi\,\left(\frac{r}{2}\right)^2=\frac{\pi}{8}\,r^2\).
Fläche 2 ist der Viertel-Kreis um das untere rote Kreuz. Der Radius dieses Kreises folgt aus Pythagoras zu \(\sqrt{\left(\frac{r}{2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2}=\frac{r}{\sqrt2}\), daher ist \(F_2=\frac{1}{4}\pi\left(\frac{r}{\sqrt2}\right)^2=\frac{\pi}{8}\,r^2\).
Fläche 3 ist etwas versteckt, es ist das Dreieck, aus dem unteren roten Kreuz und den beiden oberen Ecken des Rechtecks. Wenn du dir das einzeichnest, erkennst du, dass seine Fläche genau die Hälfte von der des Rechtecks sein muss, also \(F_3=\frac{1}{2}r\,\frac{r}{2}=\frac{1}{4}r^2\).
Die gefärbte Fläche ist nun: \(F=F_1-(F_2-F_3)=\frac{\pi}{8}\,r^2-\left(\frac{\pi}{8}\,r^2-\frac{1}{4}r^2\right)=\frac{r^2}{4}\).
