warum kommt bei der Ableitung von xe^x bei der k-ten ableitung (k+x)e^x raus?

Question

Aufgabe

Für f(x)= xe^x und x₀=0 gebe man das n-te Taylorpolynom an und untersuche, ob f durch seine Taylorreihe dargestellt wird.

Problem/Ansatz:

Ich habe ein paar Ableitungen gebildet um zu sehen wie die Ableitungen aussehen (also als Muster).

f(x=xe^x, ich habe die Produktregel angewendet. f'(x)=u'v+v'u

u=x, u'=1 
v=e^x, v'=e^x

f'(x= 1e^x+e^xx = e^x+e^x*x = e^x(x+1) (Ich hab ein e^x ausgeklammert, weil wir zwei Stück haben)

Nun zur zweiten Ableitung: 
u=e^x , u'=e^x
v=(x+1), v'=1 

= e^x*(x+1)+1*e^x = e^x(x+1)+e^x …. aber da sollte e^x(x+2) rauskommen,aber ich weiß nicht wie. Vielleicht wenn ich e^x noch mit in die Klammer reinnehme, dann hab ich e^x(x+2) also zwei mal e^x deshalb? aber darf ich überhaupt die e^x mit rein nehmen in die klammer? wenn ja was ist das für eine Regel nochmal? 

Answer 1

\(e^x(x+1) +1e^x = e^x(x+1) +e^x\), wobei \(e^x(x+1)\) nichts anderes ist als \(e^x\cdot x + e^x \cdot 1 = e^x\cdot x + e^x\)
(e^x wurde ausgeklammert).

Nun hat man in der 2. Ableitung \(e^x\cdot x + e^x + e^x = e^x \cdot x + 2e^x = e^x (x +2)\) (in beiden Termen kommt e^x vor).

Nach diesem Muster kannst du jetzt beliebig weitermachen.

\(f^{(3)}(x) = e^x (x +2) + e^x \cdot 1 = e^x (x +2) + e^x=e^x\cdot x +e^x+e^x + 1e^x = e^x\cdot x + 3e^x = e^x (x+3)\)

Answer 2

die richtige Lösung hast du ja schon:

f^{(k)} (x)= (k+x) e^x

Kannst du z.B per Induktion zeigen:

f'(x)= 1*e^{x} + x*e^{x} gemäß Produktregel

= (1+x)*e^{x} nach ausklammern von e^x

stimmt.

Der Induktionsschritt wäre dann

f^{(k+1)}=d/dx [ (k+x)e^x]

= 1*e^x +(k+x)*e^{x} = ((k+1)+x)e^x