Warum ist a/(1+(1/x)) gleich ax/(1+x)?

Question

Aufgabe:

Warum ist a/(1+(1/x)) gleich ax/(1+x)? Diese Termumformung verstehe ich nicht. Welches Gesetz fehlt mir hier, das ich scheinbar nicht kenne?

Mein (falscher) Ansatz:

a/(1+(1/x))

= a/1 + a/(1/x)

= a + ax

= a(1+x)

Answer 1

a/(1+(1/x)) = a/1 + a/(1/x)

Das darfst du nicht machen! Du darfst nicht einfach den Nenner auseinanderziehen. Wenn man Brüche im Bruch hat, dann nimmt man den Kehrwert. Also

$$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} $$

Das darauf angewandt sieht dann so aus:

$$\frac{a}{1+\frac{1}{x}}=\frac{a}{\frac{x+1}{x}}=\frac{\frac{a}{1}}{\frac{x+1}{x}}=\frac{a}{1}\cdot \frac{x}{x+1}=...$$

Comments

Ich verstehe, du hast den linken Teil von 1+(1/x) einfach mit x erweitert. Der Schritt hat mir gefehlt. Und dass ich den Nenner nicht auseinander ziehen darf, war mir auch nicht bewusst.

Answer 2

Man kann auch ohne Umweg direkt mit x erweitern: \( \frac{a·x}{(1+\frac{1}{x})·x} \) = \( \frac{ax}{x+1} \)