Zwei-Quadrate-Satz, zwei Lösungen für s² = -1 (mod p)

Question

ich habe folgendes Lemma vor mir liegen: Für jede Primzahl p der Form p = 4m + 1 hat die Gleichung
s² ≡ −1 (mod p) zwei Lösungen s ∈ {1, 2, . . ., p−1}, für p = 2 gibt es genau eine solche Lösung, während es für Primzahlen von der Form  p = 4m + 3 keine Lösung gibt. 

Nun habe ich zwei Beispiele. Ein mal p = 11. Dies lässt sich in die Äquivalenzklassen {1,10}, {2,9,6,5} und {3,8,4,7} zerlegen. Also hat es keine Lösung, da es nur ein Paar hat.

Für p = 13 hat man die Äquivalenzklassen {1,12,}, {2,11,7,6}, {3,10,9,4}, {5,8}. Und hier soll {5,8} den beiden Lösungen für s² ≡ −1 (mod p) entsprechen. Das verstehe ich allerdings nicht wirklich. Wieso denn das Paar {5,8} und nicht das Paar {1,12}? Ansonsten weiß ich ja, dass es zwei Lösungen hat, wenn es 2 Paare als Äquivalenzklassen gibt.

Answer 1

Bzgl. welcher Relation hast du denn die Klassen gebildet ?

Einfacher ist aber zu prüfen:

5^2=25 ≡ -1 mod 13 weil   25 = 2*13-1

und die 8 auch :  64=5*13-1.

Comments

Bezüglich der additiven sowie multiplikativen Inversen sind die QUadrupel zustande gekommen.