Wie berechnet man Winkel mit Koordinatenachsen?

Question

Aufgabe:

Welche Winkel bildet a (mit einem Pfeil oben drauf) mit den Koordinatenachsen?

a) a (mit Pfeil oben drauf) = {4;3}

b) a (mit pfeil) = { 4; -2;-1}

c) a (mit pfeil) = {-1;0;5}

Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht, wie ich es berechnen sollte

Die Lösugen die im Buch stehen:

a)36,87° ; 126,87

b)29,21°   ;  115,88  ; 77,4

c)144,46°  ;  90 ;  54,46

Danke schon mal:)

Answer 1

Mit  einigen der Lösungen im Buch bin ich nicht einverstanden, weil für mich die Achsen einfach nur ungerichtete Geraden sind und der Winkel zwischen einem Vektor und einer Gerade maximal 90° werden kann. Vermutlich interpretiert ihr die die Achsen als gerichtete Geraden; dann besitzen die beiden Achsen in Aufgabe a) die Richtungsvektoren \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) bzw  \( \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix} \) und in den übrigen Teilaufgaben haben die drei Achsen die Richtungsvektoren  \( \begin{pmatrix} 1\\0 \\0\end{pmatrix} \),  \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) bzw.  \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \).

Berechne einfach mit der bekannten Kosinusformel der Kosinus des Winkels zwischen \(\vec{a}\) und dem jeweiligen Achsenvektor.

Comments

also mit der Formel

cos gamma= a*b (mit Pfeil) / a*b

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Im Prinzip ja.

Du hast nur im Nenner die Betragsstriche vergessen.

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was meinst du mit Betragsstriche?

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Im Nenner steht

BETRAG des Vektor \(\vec{a}\) mal BETRAG des Vektors \(\vec{b}\).

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achso, ja das weiss ich. Also das mit unter wurzel und alles hochzwei mal das andere unterwurzel und alles hoch zwei

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Kannst du damit die Winkel der Musterlösung bestätigen?

Answer 2

Hm. Also entweder kann ich heute nicht rechnen oder die Musterlösungen sind absoluter Schrott. Prüfe mal ob du alle Vektoren richtig angegeben hast. Also [4, 3] und nicht etwa [4, -3].

a)
a = [4, 3]
ACOS([4, 3]·[1, 0]/(ABS([4, 3])·ABS([1, 0]))) = 36.87°
ACOS([4, 3]·[0, 1]/(ABS([4, 3])·ABS([0, 1]))) = 53.13°

b)
a = [4, -2, -1]
ACOS([4, -2, -1]·[1, 0, 0]/(ABS([4, -2, -1])·ABS([1, 0, 0]))) = 29.21°
ACOS([4, -2, -1]·[0, 1, 0]/(ABS([4, -2, -1])·ABS([0, 1, 0]))) = 115.88°
ACOS([4, -2, -1]·[0, 0, 1]/(ABS([4, -2, -1])·ABS([0, 0, 1]))) = 102.60°

c)
a = [-1, 0, 5]
ACOS([-1, 0, 5]·[1, 0, 0]/(ABS([-1, 0, 5])·ABS([1, 0, 0]))) = 101.31°
ACOS([-1, 0, 5]·[0, 1, 0]/(ABS([-1, 0, 5])·ABS([0, 1, 0]))) = 90°
ACOS([-1, 0, 5]·[0, 0, 1]/(ABS([-1, 0, 5])·ABS([0, 0, 1]))) = 11.31°

Comments

Die scheinen in der Musterlösung recht willkürlich mit den Achsenrichtungen (positive/negative) Achse umzugehen.

Answer 3

Aloha :)

zu a)

Die Länge des Vektors \((4,3)\) ist \(\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\).

Winkel mit x-Achse: \(\arccos\left(\frac{4}{5}\right)=36,97^o\)

Winkel mit y-Achse: \(\arccos\left(\frac{3}{5}\right)=53,13^o\)

Erkennst du das Prinzip? In den Nenner kommt die Länge des Vektors und in den Zähler die Komponente auf der interessierenden Achse.

zu b)

Die Länge des Vektors \((4,-2,-1)\) ist \(\sqrt{4^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}\).

Winkel mit x-Achse: \(\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{21}}\right)=29,21^o\)

Winkel mit y-Achse: \(\arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{21}}\right)=115,88^o\)

Winkel mit z-Achse: \(\arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{21}}\right)=102,60^o\)

Heißt der Vektor vielleicht \((4,-2,1)\)? Dann wäre nämlich der z-Winkel gleich \(77,40^o\), hätte also denselben Wert wie in der Musterlösung.

zu c)

Die Länge des Vektors \((-1,0,5)\) ist \(\sqrt{(-1)^2+0^2+5^2}=\sqrt{1+0+25}=\sqrt{26}\).

Winkel mit x-Achse: \(\arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{26}}\right)=101,31^o\)

Winkel mit y-Achse: \(\arccos\left(\frac{0}{\sqrt{26}}\right)=90^o\)

Winkel mit z-Achse: \(\arccos\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)=11,31^o\)

Also hier passt der Vektor \((-1,0,5)\) offenbar überhaupt nicht zur Musterlösung. Entweder ist der Vektor falsch abetippt oder die Musterlösung ist komplett falsch.

Comments

passt  ...  offenbar überhaupt nicht

Die x-Koordinate ist nicht -1, sondern -7 (was ja bei einigermaßen schlechter Handschrift fast gleich aussieht).

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Ich kenne die Original-Aufgabenstellung nicht, kann also nicht entscheiden, ob der Vektor falsch abgetippt ist oder die Musterlösung kaputt ist.