Darstellungsmatrix und Drehmatrix

Question

Aufgabe:

Sei d: ℝ² -> ℝ²  die Drehung um den Ursprung mit Drehwinkel 45 Grad. Sei S = {e_1,e₂} die Standardbasis des ℝ² aus Einheitsvektoren.

(i) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M_s^s (d) (S sollen beide übereinander sein)

(ii) Gibt es eine Basis T von ℝ² , so dass M_T^T (d) = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) ?

Problem/Ansatz:

Ersteinmal verwirrt mich die Schreibweise  M_s ^s (d) (oder halt mit T). Ist das das Selbe wie M_s,s ? Und wenn ja, kommt bei Umwandlung in dieser Schreibweise erst das hohe S nach vorne oder das Untere?

Wie dem auch sei: Für (i) habe ich als Ergebnis \( \begin{pmatrix} cos(45°) & -sin(45°) \\ sin(45°) & cos(45°) \end{pmatrix} \)

Da die Formel für die Drehmatrix in ℝ²  lautet \( \begin{pmatrix} cos(a) & -sin(a) \\ sin(a) & cos(a) \end{pmatrix} \)

und hier eben mit den Einheitsvektoren multipliziert wird.

Allerdings verstehe ich den 2. Teil nicht. Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

zu Teil 2:

angenommen, es existiere so einen Basis. Dann würde doch der Vektor $$\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$$

auf $$\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$$ abgebildet Also nicht gedreht.