Wahrscheinlichkeit für 2 Jungen unter 5 Kindern einer Familie.

Question

Aufgabe:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass in einer österreichischen Familie mit 5 Kindern

a) genau zwei Knaben

b) mehr als die Hälfte Knaben sind.

Problem/Ansatz:

Was ist p  in diese Aufgabe ?

Ich bitte um Hilfe !

Comments

Hier fehlt die Angabe des statistischen
Verhältnisses Knaben zu Mädchen

---

Im Jahr 2000 waren 51,267 der Neugeborenen in Österreich männlich. Dann wäre das Ergebnis bei a) 0,3042

Die genauen Zahlen ändern sich von Land zu Land aber auch von Jahr zu Jahr.

Wenn offensichtlich das Land von Bedeutung ist, dann auch das Jahr, welches nicht angegeben wird.

Answer 1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass in einer österreichischen Familie mit 5 Kindern

Sei p die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt und ist nichts im Text angegeben solltest du von 0.5 ausgehen. Du kannst aber auch Statistiken aus Österreich zu Rate ziehen und dein p so wählen wie du es für richtig hältst. Du solltest dann nur angeben warum du mit deinem Wert rechnest. Gehe davon aus das die Musterlösung aber mit 0.5 rechnet.

Wenn wir also mal annehmen das in Österreich die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt bei 51% liegt dann

a) genau zwei Knaben

$$P(X=2)=\begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix} \cdot 0.51^2 \cdot 0.49^{5-2} = 0.3060 \qquad (0.3125)$$

b) mehr als die Hälfte Knaben sind.

$$P(3 \le X \le 5) = \sum \limits_{x=3}^{5} \begin{pmatrix} 5\\x \end{pmatrix} \cdot 0.51^x \cdot 0.49^{5-x} = 0.5187 \qquad (0.5)$$

In der Klammer habe ich übrigens das Ergebnis angegeben, das bei einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 herauskommen würde.

Answer 2

Ist p nicht exakt angegeben, würde ich von p=0.5 ausgehen.

Die Zufallsvariable ist binomialverteilt mit p=0.5 und n = 5.

a)

B(n,p,k) = B(5, 0.5, 2) = 0.3125 (k = Anzahl der Treffer)

b)

Mehr als die Hälfte heisst 3 oder 4 oder 5 Knaben.

B(5, 0.5, 3) + B(5, 0.5, 4) + B(5, 0.5, 5) = 0.5

Das entspricht

1 - B(5, 0.5, 0) - B(5, 0.5, 1) -  B(5, 0.5, 2) = 0.5

Das Ergebnis verwundert zwar, denn man würde erwarten, dass die Familie mit 5 Kindern im Durchschnitt 2.5 Knaben hat, aber das liegt an der unstetigen Binomialverteilung.

Comments

Die Annahme p=0.5 erlaubt es, Teil a) im Kopf zu rechnen und das Ergebnis von Teil b) ohne jede Rechnung zu kennen...

Answer 3

ich vermute, dass p=0.5 genügen sollte. Meines Wissen ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann geboren wird allerdings in der Realität p=0.51. Aber das sind auch nur Maximum-Likelihood-Schätzer.