Ungleichung x + 3/x ≥ 2 * √ 3 für alle reellen Zahlen x>0 zeigen?

Question

Frage/Aufgabe:

Hey folgende Frage, wie zeige ich, dass x+ \( \frac{3}{x} \) ≥ 2 √3 .

Müsste wohl dahin gehen, dass man nach x umformt, bin aber nicht so Ungleichungen erprobt aus diversen Gründen.

Vielen Dank für die Antworten  :)

Nachtrag: Vollständige Fragestellung mit Tipp im Kommentar. 

Comments

Die Ungleichung gilt nicht für alle x≥0.

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Tipp:  \((x-\sqrt3)^2\ge0\). Deine Ungleichung ist für x=0 allerdings nicht definiert.

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Hier nochmal die Aufgabe

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Quadriere den zu betrachtenden Ausdruck.

PS: Mein Tipp wäre ein anderer gewesen: Teile beide Seiten durch √3 und verwende die für positive Zahlen a gültige Standardungleichung

\(a+ \frac{1}{a}\ge2 \) . Aber wenn man die nicht kennt, sollte man dem Hinweis der Aufgabenstellung folgen.

Answer 1

Rückwärts arbeiten. Da x>0 darf man mit x durchmultuplizieren ohne, dass sich die Richtung des Ungleichheitszeichens ändert:

x²-2√3x+3≥0

(x-√3)²≥0 gilt, da Quadrate nie negativ sind.

Comments

x vergessen?

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Ja, sowas passiert mir leider.

Answer 2

x > 0
x + 3/x ≥ 2 * √ 3 | * x
x^2 + 3 ≥ 2 * √ 3 * x
x^2 - √ 12 * x ≥ - 3 | quadratische Ergänzung
x^2 - √ 12 * x + (√ 12 / 2) ^2  ≥ - 3 + 12/4
( x -  √ 12 / 2 )^2 ≥ 0
Der linke Term  ist wegen des Quadrierens immer
größer / gleich 0