Aloha :)
Die Varianz kannst du mit dem Erwartungswert \(\mu\) berechnen oder mit dem Mittelwert \(\overline x\) einer Stichprobe. Der grundlegende Unterschied ist, dass der Erwartungswert \(\mu\) exakt ist, der Mittelwert \(\overline x\) einer Stichprobe hingegen nur eine Näherung für den Erwartungswert darstellt:$$\mu\approx\overline x$$Nach dem Gesetz der großen Zahl ist diese Näherung umso besser, je größer die Anzahl \(n\) der Messwerte ist.
Die Varianz deiner Messwerte \(x_i\) ist nun:$$V(x)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2$$oder$$V(x)=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2$$Das \((n-1)\) im Nenner berücksichtigt, dass der Mittelwert \(\overline x\) nur eine Näherung für den Erwartungswert \(\mu\) darstellt und daher selbst eine Abweichung enthält. Diese Abweichung pflanzt sich in die Varianz fort.
Dies ist die Varianz für eine einzelne Messung, d.h. der Messfehler eines einzelnen x-Wertes ist:$$\Delta x=\sqrt{V(x)}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2}$$
Bei der Bildung des Mittelwertes$$\overline x=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i$$addieren sich die Fehler der Einzelmessungen gemäß der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung:
$$\Delta\overline x=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{\Delta x}{n}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n\left(\Delta x\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n^2}\,n\left(\Delta x\right)^2}=\frac{1}{\sqrt n}\Delta x$$Erkennst du den Unterschied? Wenn nur durch \((n-1)\) dividiert wird, berechnest du den Fehler der Einzelmessung. Wenn durch \(n(n-1)\) dividiert wird, berechnest du den Fehler des Mittelwertes der Messreihe.
