Lösung der Differentialgleichung und das maximale Lösungsintervall

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung der Differentialgleichung $$ y^{\prime}=\mathrm{e}^{y} \cos x $$ und das maximale Lösungsintervall.

Problem/Ansatz:

$$ \begin{array}{rl}{\frac{d y}{d x}=e^{y} \cos x}&{\cdot d x} \\ {d y=e^{y} \cos x d x} & {\text :{ e }^{y}} \\ {e^{-y} d y=\cos x d x} & {} \\ {\int e^{-y} d y=} & {\int \cos x d x} \\ {-e^{-y}+c_{1}=-\sin x+c_{2}} \\ {-\cdot e^{-y}=-\sin x+c} \\ {y \cdot e} & {=\ln (-\sin x+c)} \\ {y=} & {\frac{\ln (\sin x+c)}{e}}\end{array} $$

Stimmt das soweit? Wie besimme ich jetzt das maximale Lösungsintervall?

Comments

Die letzten Schritte stimmen nicht ganz.

Erst:

\(\int \cos(x) = [\color{red}+\color{black}\sin(x)]\)

Deshalb:

\(-e^{-y} = \sin(x) + c  \quad|\cdot (-1)\)

Damit:

\(e^{-y} = -\sin(x) - c \quad|\ln\)

\(-y = \ln(-\sin(x)-c)\)

\(y = -\ln(-\sin(x)-c)\)

\(y = -\ln(-\sin(x)+d)\)

Answer 1

meine Berechnung:

y' =y cos(x)

dy/dx= y cos(x)

dy/e^y= cos(x) dx

-e^(-y)= sin(x)+C |*(-1)

e^(-y)= -(sin(x)+C) |ln(...)

-y=ln (-(sin(x)+C)) | *(-1)

y= - ln (-(sin(x)+C))

Wie bestimme ich jetzt das maximale Lösungsintervall?

Das ist der Definitionsbereich der Lösung der DGL:

-(sin(x)+C) ≥ 1

x∈R; x≥arcsin(-1-c)