Vektor c nach vektoren a und b zerlegen

Question

Aufgabe:

Zerlege den Vector c nach den Vektoren a und b. Die Richtigkeit der Ausrechnung lässt sich durch eine Zeichnung überprüfen

a= 5/2

b= -1/4

c= 9/8

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung mehr, wie man das ausrechnet. Vor kurzem habe ich es noch verstanden, aber als ich meine Notizen angeschaut habe, habe ich nichts mehr verstanden.

Dort habe ich irgendwas von c= x * a + y * b

geschrieben.

Answer 1

Du sollst den Vektor c als Linearkombination von a und b darstellen, sprich

\(\begin{pmatrix}9\\ 8\end{pmatrix}=x\cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix}\) mit \(x,\, y \in \mathbb{R}\).
Durch die zwei Parameter lässt sich die Länge des jeweiligen Vektors verändern.

Umgeformt ergibt sich:

\(\begin{pmatrix}9\\ 8\end{pmatrix}=x\cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix}9\\ 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5x-y\\ 2x+4y\end{pmatrix}\)

Wodurch sich die zwei Gleichungen \(\mathrm{I}: 9=5x-y,\; \mathrm{II}: 8=2x+4y\) ergeben. Dieses LGS kannst du nach einem bevorzugten Lösungsverfahren lösen.