Bruchrechnung mit Variablen

Question

\( \dfrac{4x}{1-x} \) - \( \dfrac{x}{x^2-1} \)

Problem/Ansatz:

ich komm mit dieser Aufgabe irgendwie nicht klar. Die Lösung soll lauten \( \dfrac{4x^2+5x}{1-x^2} \).

Das eine Subtraktion nur mit gleichem Nenner möglich ist weiß ich. Aber ich bekomme die beiden Brüche nicht auf den gleichen Nenner. Binomische Formeln habe ich ausgeschlossen, das ging nicht auf am Ende, zumindest wenn ich richtig gerechnet habe. Wenn ich beide Nenner erweitere jeweils um den Nenner des anderen Bruches erweitere, ergibt das für mich auch keinen vorteilhaften Lösungsansatz.

Um auf 1-x^2 im Nenner zu kommen, würde ich den Subtrahenden  mit -1 erweitern. Wie gehe ich bei dem Minuenden vor? *x passt ja nicht, sonst würde da stehen 1x-x^2 (also wieder kein identischer Nenner).

Wahrscheinlich ist die Lösung ganz einfach, aber ich komme partout nicht drauf.

Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen? :)

Answer 1

Aloha :)

Die Aufgabe passt nicht zur Lösung. Die Lösung stimmt, wenn der zweite Bruch vom ersten abgezogen werden soll.

Mit der 3. binomische Formel gilt:$$(1-x^2)=(1-x)(1+x)$$Damit ist dann:$$\frac{4x}{1-x}-\frac{x}{x^2-1}$$$$=\frac{4x}{1-x}+\frac{x}{1-x^2}$$$$=\frac{4x(1+x)}{(1-x)(1+x)}+\frac{x}{1-x^2}$$$$=\frac{4x+4x^2}{1-x^2}+\frac{x}{1-x^2}$$$$=\frac{4x^2+5x}{1-x^2}$$

Comments

Vielen lieben Dank für den ausführlichen Rechenweg! :) Der Hilft mir total weiter!

von  − \( \dfrac{x}{x^2 − 1} \) auf + \( \dfrac{x}{1-x^2} \)

(Aufgabenstellung und 1. Zeile deiner Rechnung) kommst du doch, weil es bei Brüchen egal ist, ob ich das Minus in den Zähler oder Nenner ziehe, oder? Das kann ich doch so machen, wie es mir gerade am besten beim Lösen passt. Ist nur eine kleine Verständnisfrage für mich :)

Also damit meine ich − \( \frac{a}{b} \) = \( \frac{-a}{b} \) = \( \frac{a}{-b} \)

Was meinst du denn, welche Lösung stimmt nicht mit der Aufgabe überein? Dein Rechenweg liefert mir genau das Ergebnis aus der Musterlösung :)

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Ja genau, das Minuszeichen kannst du so setzen, wie du beschrieben hast.

Als ich die Antwort geschrieben habe, stand da noch ein Mal-Zeichen zwischen den Brüchen. Mit Minus-Zeichen passt alles... \o/

Hast du das korrigiert oder war ich einfach nur zu blind?

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Nein, das hab ich nicht korrigiert. Das ist und war von Anfang an ein Minus. Habe aber nicht das Symbolverzeichnis hier genutzt, sondern das - auf der Tastatur. Werde es in Zukunft über das Symbolverzeichnis machen, dann besteht keine Verwechselungsgefahr mehr.

Aber du hast auf jeden Fall den richtigen Riecher gehabt für das Minus :D

Dann passt jetzt ja alles und ich hab es auch noch verstanden :) Dankeschön! :)

Answer 2

Nenner in Faktoren zerlegen und damit den Hauptnenner bestimmen:

1-x=-(x-1)

x²-1=(x+1)(x-1)

Dann ist der Hauptnenner

-(x+1)(x-1)=(x+1)(1-x)

Beide Brüche auf diesen Nenner erweitern, den ersten mit (x+1) und den zweiten mit -1.

Dann im Zähler Klammern auflösen und zusammenfassen.

Wenn du dein Ergebnis mit -1 erweiterst, erhältst du das Kontrollergebnis.

Answer 3

(4x)/(1-x) - x/(x^2-1)

x^2-1 = (x+1)(x-1)

(4x)/(1-x) - x/((x+1)(x-1))

x-1= -(-x+1)

=(4x)/(1-x) - x/((x+1)*(-1)(-x+1))

=1/(1-x) (4x +x/(x+1)

=1/(1-x) ((4x^2+4x+x)/(x+1)

=1/(1-x) ((4x^2+5x)/(x+1)

dann mit dem angegebenen Ergebnis

Answer 4

HN = 1-x^2 = (1-x)(1+x)

(4x(1+x)-x))/HN = (4x+4x^2-x)/HN = (4x^2+3x)/HN

PS: Steht in der Aufgabe ein Plus zwischen den Brüchen? Sonst stimmt die Lösung nicht.

Comments

Nein, es steht ein Minus zwischen den Brüchen. Das hat mich auch verwundert!

Das Ergebnis von meiner Rechnung war \( \dfrac{-4x^2 - 5x}{x^2-1} \)

Jetzt rätsel ich herum, wie man denn auf das Ergebnis der Musterlösung kommt

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Sorry, ich hab nicht aufgepasst. Siehe Roland!