Potenzreihe für ln(x+1) aufstellen

Question

Hallo ihr Lieben!

Ich brauche bitte mal eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

1) Erstellen Sie eine Potenzreihe für ln(x+1).
2) Was können Sie zum Konvergenzverhalten der Potenzreihe aussagen?

Teil 1 zielt offenbar auf die Taylor-Formel und Teil 2 auf den Konvergenzradius. Wie gehe ich hier am besten vor?

für eure Tipps.
Patty

Comments

Tipp:  Es ist \(\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\,\ln(1+x)=\frac1{1+x}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^k\). Integriere beide Seiten in den Grenzen von 0 bis t.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde hier gar nicht über die Taylorreihe gehen, sondern über die Summenformel für die geometrische Reihe:$$1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$Für \(|x|<1\) konvergiert die Summe für \(n\to\infty\) gegen \(\frac{1}{1-x}\). Setzt du nun \(-x\) anstatt \(x\)  ein erhältst du:$$\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n=\frac{1}{1+x}\quad;\quad|x|<1$$Wenn du nun beide Seiten integrierst, erhältst du die gesuchte Potenzreihe und den Konvergenzradius gleich mit dazu:$$\ln(1+x)=-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-x)^{n+1}}{n+1}=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-x)^{n}}{n}\quad;\quad|x|<1$$Dass \(|x|<1\) sein muss ist übrigens keine Einschränkung bei der Verwendung dieser Potenzreihe zur Berechnung, denn:$$1+x=\left(\frac{1}{1+x}\right)^{-1}=\left(\frac{1+x-x}{1+x}\right)^{-1}=\left(1-\frac{x}{1+x}\right)^{-1}$$$$\Rightarrow\ln(1+x)=-\ln\left(1-\frac{x}{1+x}\right)$$

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Vielen Dank für die super Antwort, du hast mir sehr weitergeholfen... \o/

Answer 2

Schau mal in einer Suchmaschine unter dem Stichwort "Potenzreihen".

ln(x+1)=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+-....

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Hallo Roland,

ich bin ja nicht doof. Die Potenzreihe zu finden ist einfach, aber die Herleitung zu verstehen nicht. Und darum ging es mir eigentlich...

Trotzdem Danke fürs Raussuchen

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Unter diesem Stichwort findest du auch Herleitungen.

Answer 3

zu 1)

Es muß eine Stelle x₀ angegeben sein(z.b x₀=1)

Taylorformel: f(x)=f(x₀) +f '(x₀)(x-x₀) +f'' (x₀)/2 ! (x-x₀)^2

f(x)=ln( x+1) ; f(1)=ln (2)

f '(x)= 1/(x+1); f'(1)=1/2

 f``(x)= usw.