Aussagenlogik, Zusammengesetzte Aussagen

Question

Ich habe zu der unten stehenden Aufgabe die darunter stehende Lösung schon vorliegen. Verstehe die Lösung jedoch nicht. Warum kann man schon aus so einer unvollständigen Wahrheitstafel diese Schlüsse ziehen? Ich würde gerne eine vollständige Wahrheitstafel erstellen, weil ich das dann vielleicht verstehe, aber ich verstehe schon nicht, warum in der Wahrheitstafel in der Lösung zwei Spalten für A stehen.

Stehe da irgendwie total auf dem Schlauch.

Aufgabe:

Seien A und B zwei Aussagen und Z(A,B) eine aus A und B zusammengesetzte Aussage, d.h. eine Aussage, deren Wahrheitswert durch die Wahrheitswerte von A und B eindeutig bestimmt ist.

1. Wieviele solche Aussagen Z(A,B) gibt es (bis auf Äquivalenz)?

2. Wieviele davon sind symmetrisch in A und B, d.h. Z(A,B) ⇔ Z(B, A)?

3. Geben Sie für jede Aussage Z(A,B) eine Darstellung mit Hilfe der Symbole ¬,∨ und ∧ an.

Lösung: 1. Äquivalente Aussagen werden durch ihre Wahrheitstafeln festgelegt, d.h.

A  A  Z(A,B)

W  W  *

W   F   *

F   W   *

F   F    *

und für die Einträge in der letzten Spalte gibt es 2^4 = 16 Möglichkeiten.

2. Z(A,B) ⇔ Z(B,A) genau dann, wenn die Einträge in Zeile 2 und 3 der letzten Spalte übereinstimmen. Dafür gibt es 2^3 = 8 Möglichkeiten.

3. (WWWW): A ∨¬A, (FFFF): A ∧ ¬A, (WFFF):A ∧ B, (FWFF):A ∧ ¬B, (FFWF):B ∧ ¬A, (FFFW):¬B∧¬A, (WWFF); A, (WFWF): B, (WFFW); (A∧B)∨(¬A∧¬B), (FWWF): (A∨B)∧¬(A∧B),(FWFW): ¬B, (FFWW): ¬A, (WWWF): ¬(FFFW), (WWFW): ¬(FFWF), (WFWW): ¬(FWFF), (FWWW): ¬(WFFF)

Comments

Du hast alle Fragen selbst beantwortet. Was soll mit diesen Antworten geschehen?

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Ich habe doch schon geschrieben, dass ich die Lösung vorliegen habe, diese aber nicht verstehe. Dazu habe ich auch einige Fragen gestellt.

Answer 1

Die beiden Spalten für A sind wohl schlicht ein

Druckfehler. Das soll sicher  A B  Z(A,B)  heißen

in der Überschrift.

Lösung zu 1 bedeutet also:

Es gibt 16 solcher Aussagen.

und zu 2)

symmetrisch in A und B sind die Aussagen, wie da steht:

genau dann, wenn die Einträge in der 3. Spalte so sind,

dass in der 2. und 3. Zeile, also bei

A   B     Z(a,b)

W  F       x
F  W       y

übereinstimmen, also wenn x=y.

Das ist genau in der Hälfte der 16 Fälle der

Fall, denn du hast ja dann für die w und f in

der 3. Spalte nur noch die Wahl

1.  Zeile          *

2./3. Zeile         *

4. Zeile            *

also 3 Plätze miot f/w zu besetzen, also

2^3 Möglichkeiten.

Du sagst:  Ich würde gerne eine vollständige Wahrheitstafel erstellen,

Dafür hast du eben die 16 Möglichkeiten.

etwa so

A   B    Z(A,B)

w  w        w
w  f          w
f    w        w
f    f         w

Das wäre die erste: immer wahr.

Dann vielleicht

A   B    Z(A,B
w  w        w
w  f          w
f    w        w
f    f         f

Das wäre die zweite: immer wahr, nur die

letzte Zeile f.   etc. 

Comments

Achsoo

Weil die Verknüpfung Z(A,B) für jede Zeile entweder wahr oder falsch sein kann, gibt es 2^4=16 Möglichkeiten. Da stand ich irgendwie auf dem Schlauch, weil wir vorher immer ganz bestimmte Aussagenverknüpfungen (also mit ¬,∨ und ∧) betrachtet, und deren Wahrheitswert bestimmt haben. Aber bei der 1. Aufgabe ist das ja erst mal egal wie genau die verknüpft sind, es geht erstmal einfach nur darum, dass sie verknüpft sind.

Was symmetrisch überhaupt heißt musste ich mir auch erst mal erklären lassen. Also, dass Z(A,B) ⇔ Z(B,A) bedeutet für Z(A_wahr∧B_falsch) kommt genau der gleiche Wahrheitswert raus, wie für Z(A_falsch∧B_wahr).

Das steht zwar da schon in der Aufgabe und in deiner Erklärung, aber hab's erst mal trotzdem nicht gerafft.

Aber vielleicht kann mein Brett vor dem Kopf ja mal jemand anderem helfen. :D

Vielen Dank :)

Answer 2

A  A  Z(A,B)

W  W     *

W  F      *

F  W      *

F  F       *

Es hätte heißen müssen:

A  B  Z(A,B)

W  W     *

W  F      *

F  W      *

F  F       *