Kürzungsregeln der Aussagenlogik

Question

Hallo, kann mir jemand hier helfen?

Aufgabenstellung: Zeigen Sie anhand der Beispiele mithilfe von Wahrheitstabellen die Kürzungsregeln der Aussagenlogik

Text erkannt:

a) \( (a \wedge b) \vee(a \wedge \neg b)=a \)
b) \( (a \vee b) \wedge(a \vee \neg b)=a \)

Comments

Bist du mit dem Konzept von Wahrheitstabellen vertraut?

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\(=\) ist falsch, da sollte \(\iff\) stehen.

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Satzbeispiel:

a) Wenn "Es regnet" (a) und "Die Straße ist nass" (b), dann gilt: Wenn es regnet und die Straße nass ist, oder wenn es regnet und die Straße nicht nass ist, dann bleibt die Aussage "Es regnet" immer wahr.

b) „Es regnet oder die Straße ist nass“ und „Es regnet oder die Straße ist nicht nass“ bedeutet, dass es trotzdem wahr ist, dass „Es regnet“. Egal, ob die Straße nass ist oder nicht, die Aussage „Es regnet“ bleibt wahr, wenn die gesamte Aussage gültig ist.

Answer 1

Mache eine Wahrheitstabelle. Trage dort die Werte für

\(a\), \(b\), \(a\land b\), \(a\land \lnot b\) und dann \((a\land b)\lor (a\land \lnot b)\) ein und vergleiche mit den Werten von \(a\).

Analog der zweite Teil.

Sag bitte konkret, was unklar ist.

Comments

das hab ich schon mehrfach gemacht, das geht klar! aber was mich verunsichert, ist der teil mit dem vereinfachen/kürzen?

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Das verlangt die Aufgabe doch gar nicht.

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naja, steht da kürzungsregeln mit wahrheitstafeln darstellen

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Die Regeln heißen Kürzungsregeln. Überlege doch mal, warum sie so heißen.

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ja weil gekürzt werden muss und am ende a rauskommen muss

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Nein, es muss nicht gekürzt werden. Die beiden Regeln, die da stehen, deren Gültigkeit du mit Hilfe von Wahrheitstabellen zeigen sollst, nennt man Kürzungsregeln.

Answer 2

Nach Kommentar von Gast hj2166 korrigiert:

(a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬ b)

⇔ a ∧ (b ∨ ¬ b)

⇔ a ∧ w

⇔ a

Comments

danke, bin auch so weit zuerst gekommen, aber verstehe das ab der zweiten zeile dann wieder nicht

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Du meinst du verstehst die 2. Zeile nicht?

Das ist das Distributivgesetz

(a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬ b)

Substituiere (a ∧ ¬ b) durch c

(a ∧ b) ∨ c
(a ∨ c) ∧ (b ∨ c)

Resubstituiere

(a ∨ (a ∧ ¬ b)) ∧ (b ∨ (a ∧ ¬ b))

und wende das Gesetz nochmals an

((a ∨ a) ∧ (a ∨ ¬ b)) ∧ ((b ∨ a) ∧ (b ∨ ¬ b))

(a ∨ a) ∧ (a ∨ ¬ b) ∧ (b ∨ a) ∧ (b ∨ ¬ b)

Ist das so klar?

Oder verstehst du die 3. Zeile nicht. Da vereinfache ich ja nur

(a ∨ a) = a
(b ∨ ¬ b) = w

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Aber nochmal zu deiner genauen Aufgabe

Zeigen Sie anhand der Beispiele mithilfe von Wahrheitstabellen

Das was ich formal gemacht habe, sollst du nur mithilfe der Wahrheitstabellen zeigen. Dort steht nicht, dass du es selber auch formal zeigen sollst.

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Das ist das Distributivgesetz

welches man hier viel besser in der Form (a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬ b) = a ∧ (b ∨ ¬ b) anwenden sollte

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welches man hier viel besser in der Form
(a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬ b) = a ∧ (b ∨ ¬ b)
anwenden sollte

Das stimmt allerdings. Ich werde es verbessern.

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\(=\) ist falsch, da sollte \(\iff\) stehen, solltest Du gleich mitverbessern. Und das ist keine Kosmetik, sondern ein inhaltlicher Unterschied.

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Ist es nicht so, dass wenn ich ein Gleichheitszeichen schreibe, dass ich dann zwei Aussagen miteinander vergleiche oder sage, dass zwei Aussagen gleich sind und dass wenn ich einen Pfeil benutze, dass dann eine einzige Aussage daraus wird?

Für alle, die nicht Mathematik studiert haben, ist das verwirrend, vor allem wenn es auf Übungszetteln, wie oben angegeben, mit einem Gleichheitszeichen steht statt mit einem Pfeil steht.

Mir und vielen Dozenten ist offensichtlich nicht ganz genau klar, warum ein Gleichheitszeichen hier verkehrt ist.

Und wenn du sagst = ist falsch und da SOLLTE ⇔ stehen, macht das ganze nicht besser. Denn SOLLTE oder MUSS ⇔ dort stehen.

Mich verwirrt, dass Gast hj2166 das Gleichheitszeichen dann nicht beanstandet hat, sondern sogar selber gebraucht hat.

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Kurz gesagt, bezeichnet \(A=B\) lediglich eine Zuweisung. Aus der Mathematik oder Informatik kennt man \(x=5\) oder Ähnliches. Ich weise der Variablen \(x\) den Wert 5 zu. Es handelt sich hier nicht um eine logische Aussage.

Dahingegen stellt \(A \Leftrightarrow B\) eine logische Aussage dar, die entweder falsch oder wahr ist und damit einen Wahrheitswert hat. Die Schreibweise \(x=5\) liefert diesen Wahrheitswert jedoch nicht. Genauso liefert das Gleichsetzen zweier Aussagen keinen Wahrheitswert, denn (man beachte mal das Beispiel oben von simple mind) die Aussagen auf der linken bzw. rechten Seite sind ganz offensichtlich unterschiedlich und nicht gleich, haben aber den gleichen Wahrheitswert und sind damit logisch äquivalent.

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Zuweisungen würde ich mit \(:=\) notieren, weil einer neuen(!) Größe (oder Aussage) etwas zugewiesen wird.

Der Unterschied zwischen \(=\) und \(\iff\) ist der zwischen "gleich" und "gleichwertig". Sagt ja auch der Begriff "äquivalent" schon.

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Wobei bis zum Abitur das = nicht unbedingt als Zuweisung verstanden wird.

x^2 = x + 4

setzt ja zwei Termwerte gleich, um mithilfe von Umformungen das x zu bestimmen, für die eine Gleichheit der Termwerte gegeben ist.

Und x = 5 kann als Aussage verstanden werden, die für alle x wahr ist, wenn x den Wert 5 annimmt.

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die für alle x wahr ist, wenn x den Wert 5 annimmt.

Man kann in die Sache auch noch künstliche Verwirrung einbauen.