Kürzungsregeln der Aussagenlogik

Question

Hallo, kann mir jemand hier helfen?

Aufgabenstellung: Zeigen Sie anhand der Beispiele mithilfe von Wahrheitstabellen die Kürzungsregeln der Aussagenlogik

Text erkannt:

a) \( (a \wedge b) \vee(a \wedge \neg b)=a \)
b) \( (a \vee b) \wedge(a \vee \neg b)=a \)

Comments

Bist du mit dem Konzept von Wahrheitstabellen vertraut?

---

\(=\) ist falsch, da sollte \(\iff\) stehen.

Answer 1

Mache eine Wahrheitstabelle. Trage dort die Werte für

\(a\), \(b\), \(a\land b\), \(a\land \lnot b\) und dann \((a\land b)\lor (a\land \lnot b)\) ein und vergleiche mit den Werten von \(a\).

Analog der zweite Teil.

Sag bitte konkret, was unklar ist.

Comments

das hab ich schon mehrfach gemacht, das geht klar! aber was mich verunsichert, ist der teil mit dem vereinfachen/kürzen?

---

Das verlangt die Aufgabe doch gar nicht.

---

naja, steht da kürzungsregeln mit wahrheitstafeln darstellen

---

Die Regeln heißen Kürzungsregeln. Überlege doch mal, warum sie so heißen.

---

ja weil gekürzt werden muss und am ende a rauskommen muss

---

Nein, es muss nicht gekürzt werden. Die beiden Regeln, die da stehen, deren Gültigkeit du mit Hilfe von Wahrheitstabellen zeigen sollst, nennt man Kürzungsregeln.

Answer 2

Nach Kommentar von Gast hj2166 korrigiert:

(a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬ b)

⇔ a ∧ (b ∨ ¬ b)

⇔ a ∧ w

⇔ a

Comments

danke, bin auch so weit zuerst gekommen, aber verstehe das ab der zweiten zeile dann wieder nicht

---

Du meinst du verstehst die 2. Zeile nicht?

Das ist das Distributivgesetz

(a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬ b)

Substituiere (a ∧ ¬ b) durch c

(a ∧ b) ∨ c
(a ∨ c) ∧ (b ∨ c)

Resubstituiere

(a ∨ (a ∧ ¬ b)) ∧ (b ∨ (a ∧ ¬ b))

und wende das Gesetz nochmals an

((a ∨ a) ∧ (a ∨ ¬ b)) ∧ ((b ∨ a) ∧ (b ∨ ¬ b))

(a ∨ a) ∧ (a ∨ ¬ b) ∧ (b ∨ a) ∧ (b ∨ ¬ b)

Ist das so klar?

Oder verstehst du die 3. Zeile nicht. Da vereinfache ich ja nur

(a ∨ a) = a
(b ∨ ¬ b) = w

---

Aber nochmal zu deiner genauen Aufgabe

Zeigen Sie anhand der Beispiele mithilfe von Wahrheitstabellen

Das was ich formal gemacht habe, sollst du nur mithilfe der Wahrheitstabellen zeigen. Dort steht nicht, dass du es selber auch formal zeigen sollst.

---

Das ist das Distributivgesetz

welches man hier viel besser in der Form (a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬ b) = a ∧ (b ∨ ¬ b) anwenden sollte

---

welches man hier viel besser in der Form
(a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬ b) = a ∧ (b ∨ ¬ b)
anwenden sollte

Das stimmt allerdings. Ich werde es verbessern.

---

\(=\) ist falsch, da sollte \(\iff\) stehen, solltest Du gleich mitverbessern. Und das ist keine Kosmetik, sondern ein inhaltlicher Unterschied.