Nullstellen Gleichungen

Question

f(x)= -0,01x^6+0,52x^4-5,76x^2-5

10= -0,01x^6+0,52x^4-5,76x^2-5

Mein Ansatz wäre :  10= -0,01x^3+0,52x^2-5,76x-5

Wie komm ich jetzt auf die Nullstellen. meine Idee wäre ausklammern aber dann hatte ich Probleme mit der p-q Formel.

kann mir einer helfen Schritt für Schritt an die Nullstellen zu komme.

:)

Comments

Suchst du eigentlich die Nullstellen der Funktion  f  oder die Lösungen der Gleichung  f(x) = 10  ?

Answer 1

0= -0,01x⁶+0,52x⁴-5,76x²-5  |·(-100)

0=x⁶-52x⁴+576x²+500

Lösungen durch Probieren habe ich nicht gefunden. Setze x²=z. Dann ist

0=z³-52z²+576z+500

Kubische Gleichungen löst man mit Formeln von Cardano (kein Schulstoff) oder mit einem Näherungsverfahren oder mit dem GTR (meistens erlaubt).

Comments

Anmerkung : es kommt auch eine krumme
Zahl x = ± 4.2 heraus.

---

Wo bleibt die 10?

Answer 2

Bei der Substitution solltest du eine neue Variable einführen, also zum Beispiel u anstatt wieder x.

Die neue Gleichung wäre dann also:

$$10 = -0,01u^3+0,52u^2-5,76u-5$$

oder

$$ 0,01 u^3-0,52 u^2+5,76u+15=0 $$

Dies ist eine kubische Gleichung, die anscheinend keine "schönen, runden" Lösungen hat.

Mit Polynomdivision wird man also kaum weiterkommen. Also:  Näherungsverfahren !

Mein CAS findet aber immerhin 3 reelle Lösungen für  u , davon zwei positive und eine negative. Für reelle x-Werte (insgesamt 4) kommen natürlich nur die positiven u-Werte in Frage.

Comments

u*(0,01u² -0,52u+5,76+15/u) = 0

0,01u² -0,52u+5,76+15/u=0

wie kann ich diese Gleichung dann in die p-q Formel einsetze? die 15/u  in der Gleichung verwirren mich. Ich weiß nicht wie ich dann rechen muss ;(

---

Die p-q-Formel hilft da überhaupt nicht weiter, da die Gleichung keine quadratische, sondern eine kubische ist.

---

okay verstehe, aber wie muss man das dann rechnen um auf die varaible u zu kommen ?

Blick da leider nicht durch

---

Zu Fuß mit dem Newton-Verfahren.
Ansonsten gar nicht oder mit einem
Matheprogramm.

Answer 3

10 = -0.01x^6 + 0.52x^4 - 5.76x^2 - 5

Sicher, dass kein Tippfehler vorliegt ?

0 = -0.01x^6 + 0.52x^4 - 5.76x^2 - 15
0 = -x^6 + 52x^4 - 576x^2 - 1500

Eine solche Gleichung lässt sich nicht einfach lösen. Ich würde die Funktion

f(x) = -x^6 + 52x^4 - 576x^2 - 1500

plottem, um zu sehen, wo die reellen Nullstellen ungefähr liegen, und mich dann iterativ annähern.

Weil die Funktionswerte sehr gross werden, wird f(x) mit 1/1000 skaliert. Das ändert nichts an den Nullstellen.

Diese liegen bei x1 ~ +4.55, x2 ~ -4.55, x3 ~ +5.78, x4 ~ -5.78. Zusätzlich gibt es komplexe Nullstellen.