Ist der Grenzwert von (2^0)/(0!) = 0^0?

Question

Aufgabe:

Im Zusammenhang mit der Entwicklung einer Taylorreihe bin ich auf eine Grenzwertaufgabe gestoßen, deren Musterlösung ich bin verstehe.

Die Grundsätzliche Aufgabe lautet: Entwicklung der Funktion \( f(x) = e^{2x} \) an der Stelle \( x_0 = 1\). Allgemeine Summenformel bilden und wie viele Glieder müssen für  \( e^2 \) berechnet werden?

Die allg. Summenformel lautet \( e^{2x} = e^2  \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} 2^k (x-1)^k \)

Bei \(k = 0\) :

\( \frac{2^0}{0!} = 0^0 \) und deshalb wird die Regel von l'Hospital/Bernoulli angewendet.

Meiner Meinung nach ist aber \( \frac{2^0}{0!} = \frac{1}{1} \)

Wie wird laut meiner Professoren dort der Grenzwert betrachtet?

Ich bin für jeden Hinweis dankbar! :)

Comments

Der Term 0^0 tritt hier auf, wenn x=1 und k=0 ist. In dem Zusammenhang definiert man 0^0 =1, weil dann alles stimmt ;).

Der Faktor 2^k/k! ist für alle k wohldefiniert.

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Mittlerweile habe ich verstanden, wie es gemeint war:

bei \( e^{2x} =  e^2 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} 2^k (x-1)^k\) mit \( x = 0  \) ist

\(k = 0 : e^2 \frac{2^0}{0!} (1-1)^0 = e^2 \frac {1}{1} 0^0\)

Für dieses \(0^0\) wird der Grenzwert mit Bernoulli berechnet

Vielen Dank an alle und deren Antworten!

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Für dieses \(0^0\) kann man aber keinen Grenzwert berechnen, weil es ihn nicht gibt. Man kann höchstens definieren, dass im Zusammenhang mit Potenzreihen \(0^0:=1\) sein soll.

Answer 1

Ganz schwieriges Thema, das, wenn man den geschichtlichen Aspekt nicht vernachlässigt, eine ganze Vorlesung lang sein könnte.

In der Analysis wird oft \(0^0:=1\) definiert. Wie lässt sich das rechtfertigen?

Wegen \(x^0=1\) für \(x>0\) ist \(\lim\limits_{x\to 0^+}x^0=1\)

Wegen \(0^y=0\) für \(y>0\) ist \(\lim\limits_{y\to 0^+}0^y=0\)

Der Grenzwert legt nahe, \(0^0:=1\) zu definieren, der zweite \(0^0:=0\) zu definieren. Ich habe meinen Prof damit auch vollgequatscht und habe folgende Antwort erhalten:

Es ist daher keine in allen Gesichtspunkten sinnvolle Definition möglich. In der Analysis mehrerer Variablen lässt sich das so formulieren: Die Funktion \((x,y)\mapsto x^y\), definiert und stetig auf \(D=\{(x,y)\in \mathbb{R} : x\geq 0 , y \geq 0, (x,y)\neq (0,0)\}\), hat keine Stetige Fortsetzung auf \(\tilde{D}=\{(x,y) \in \mathbb{R}: x\geq 0 , y\geq 0 \}\)

Die Definition \(0^0:=1\) wird meist nach praktischen Maßstäben gewählt. Nur so ist das Ausschreiben ener Potenzreihe bspw. auch bei \(x=0\) korrekt.

Comments

Wir reden hier aber nicht von \( 0^0 \) sonder \( 2^0 \) und das ist eindeutig.

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Oh, das habe ich tatsächlich falsch gedeutet, danke! \(x^0:=0\) für alle \(x\neq 0\) und \(0!:=1\).

Answer 2

Es gilt \( \frac{2^0}{0!} = \frac{1}{1} \) weil \( 2^0 = 1\) und \( 0! = 1\) gilt, ohne l'Hospital.

Comments

Seh ich ja genau so, aber weshalb sieht es meine Professorin anders?

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Ich kann ja keine Gedanken lesen. Aber l'Hospital brauchst Du nicht, definitiv.

Answer 3

Aloha :)

Wie kommst du denn auf \(0^0\)? Dies lässt sich nicht widerspruchsfrei definieren, auch wenn einige Professoren das noch so oft sagen!

In deinem Fall ist doch \(2^0=1\) und \(0!=1\). Du kannst also den Grenzwert direkt angeben. Mit anderen Worten, du hast Recht und deine Professorin offenbar keine Ahnung.