Grenzwert von (π/2 - x)*tan(x), wenn x gegen π/2 mit Taylorreihe

Question

Wie kann ich von diesem lim den Grenzwert mithilfe der Taylorreihen berechnen?

\( \lim \limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \cdot \tan x \)

Answer 1

Hi,

die Taylorreihe von \(\tan(x)\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) lautet:

$$\tan(x) = -\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}} + \frac13(x-\frac{\pi}{2}) + ...$$

 

Damit mal die ersten beiden Summanden mitgenommen und oben eingesetzt:

$$\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot\left(-\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}} + \frac13(x-\frac{\pi}{2})\right) $$

$$= -\frac{-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)} - \frac13\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2$$

 

Das heißt der erste Term kürzt sich zu 1. Alle folgenden Terme ergeben 0, wenn man den Limes anwendet.

--> Grenzwert ist 1

 

Grüße