Quadratischer Pyramide, Pyramidenstumpf, Bestimmung der Eckpunkte

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit den Eckpunkten A(0/0/0), B (0/7/0), C(-7/7/0) und  D(-7-7/0) und der Spitze S (-3,5/3,5/19,85). Eine Einheit entspricht 1cm (Zeichnung folgt im Anhang)

a) Geben Sie Gleichungen für die Gerade g durch A und S, h durch A und C und k durch A und B in Parameterform an.

b) Berechnen Sie die Innenwinkel der Dreiecke AMS und ABS.

c) Eine Packung für Frischkäse hat die Form eines Pyramidenstumpfes (Koordinaten der Grundfläche s. Oben). Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte der oberen Fläche an, wenn die Höhe der Käsepackung 17/3 beträgt.

d) Berechnen Sie das Volumen der Frischkäsepackung.

Problem/Ansatz:

a) und b) habe ich bereits gelöst.

a) g: Vektor x= (0/0/0) + r* (-3,5/3,5/19,85)

    h: Vektor x= (0/0/0) + s* (-7/7/0)

    k: Vektor x= (0/0/0) + t* (0/7/0)

b) Dreieck AMS (rechtwinklig) alpha = 76 Grad; beta = 90 Grad; gamma = 14 Grad

Dreieck ABS (gleichschenklig) alpha = 80,15 Grad; beta = 80,15 Grad, gamma = 19,70 Grad

 c) Wiegesagt Zeichnung findet ihr unten. Ich hab schon ein bisschen was recherchiert und probiert aber ich komme da rechnerisch einfach nicht weiter und das was ich so gefunden hatte, die Rechenwege kamen mir nicht bekannt vor, jedenfalls nicht aus dem Unterricht.

d) hier gilt dasselbe im Prinzip. Die Formel kenne ich: V= 1/3 * h * (G1 + (Wurzel aus G1* G2) + G2 

G1 und G2 (sofern beides quadratische Grundflächen sind) müsste ich doch über Beträge rauskriegen, sobald ich die oberen Eckpunkte habe oder nicht?

Also fürs erste bräuchte ich ganz e Hilfe bei der c) weil ich da echt nicht weiterweiß und vielleicht jemanden, der mir netterweise sagen könnte, ob meine Heransgehensweise an die d) prinzipiell richtig ist.

Vielen Dank für jede Mithilfe!

Comments

deine Frage ist zwar schon etwas länger her, aber ich muss diese Aufgabe in der nächsten Woche abgeben und diese entscheidet dann ob ich letztlich die bessere Note auf dem Zeugnis kriege. Bin schon den ganzen Tag am überlegen was Teilaufgabe c) und d) angeht, weißt du vielleicht noch, welche Lösungen dort richtig waren, Bzw. Welcher Weg der richtige ist ?

LG

Answer 1

Hallo

 Antwort mit Strahlensatz, die Höhe wird von S aus von 19,8 auf 17/3 verkleinert, nach Strahlensatz, alle von S ausgehenden Kanten auch. also sind die Koordinaten von A'

S+19,85*3/17*SA

entsprechend die anderen Punkte.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, leider ist mir deer Rechenweg nicht ganz klar, vor allem nicht wie man daraus zwei Koordinaten herausbekommen soll. Könnte mir vielleicht jemand mit einem Rechenweg helfen, weil Strahlensätze und dieser Rechenweg an sich ergeben für mich jetzt nicht so wirklich Sinn, da diese ja auch eigtl dazu da sind, KantenLängen zu bestimmen und es da ja auch andere Wege geben muss, vielleicht über die Geradengleichungen?

Ich weiß es leider nicht, aber bitte daher erneut um ganz benötigte Mithilfe, gerne auch mit Rechenweg zum Nachvollziehen

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Strahlensatz im Dreieck ASM mit der Parallelen in Höhe 17/3. durch A' und H'

Dann gilt SA'/SA=SH'/SH

SH=19.85, SH'=19.85-17/3 also SH/SH'=19.85/(19.85-17/3)=d

also SA'=SA*d

damit wird auch der Vektor SA mit dem Faktor d verkleinert zu Vektor SA'

 und du hast A'=S+d*Vektor(SA)

 entsprechend für B' usw.

wenn du es mit Geradengl. machen willst: Gerade AS mit der Ebene z=17/3 schneiden gibt A'

lul

Answer 2

c)

Was hältst du primitiv von einer Geradengleichung durch A und S mit einem Gleichsetzen der Höhe? Also:

A' = [0, 0, 0] + r·[-3.5, 3.5, 19.85] = [x, y, 17/3] → x = -1190/1191 ∧ y = 1190/1191 ∧ r = 340/1191 → [-1190/1191, 1190/1191, 17/3]

B' = [-1190/1191, 7 - 1190/1191, 17/3]

C' = [-7 + 1190/1191, 7 - 1190/1191, 17/3]

D' = [-7 + 1190/1191, 1190/1191, 17/3]

d)

19.85 - 17/3 = 851/60
(1 - (851/60 / 19.85)^3) * 1/3 * 7^2 * 19.85 = 205.9 cm³

Du kannst aber aus den Daten von c) auch die obere Fläche Ausrechnen und dann über die Formel des Pyramidenstumpfes rechnen.

Schau mal ob die das gleiche ergibt.

Comments

Vielen Dank für die zahlreiche Mithilfe, habs mittlerweile selber gelöst.

Trotzdem vielen Dank!

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Ist die Berechnung von r relevant bei c)?

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Ist die Berechnung von r relevant bei c)?

Wenn du es mit einer Gerade machst, dann ja. Die Lehrer wollen ja sehen, dass du mit den Mitteln der analytischen Geometrie arbeiten kannst.

Du suchst ja das r für den der Punkt einer Geraden genau die Höhe z = 17/3 hat.

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Warum kann ich nicht einfach1/3 mal 7^2 mal 17/3 rechnen?

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Achso ok, aber r bräuchte ich lediglich nur für die Berechnung oder, aber nicht für die Angabe der Punkte, die ich herausfinden musste

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Schau wie ich das gemacht habe. Zuerst berechne ich das r für den der Punkt die Höhe 17/3 hat. Dann setze ich r ein um den Punkt zu berechnen. Die anderen Punkte kannst du jetzt mithilfe der Symmetrie angeben.

Warum kann ich nicht einfach1/3 mal 72 mal 17/3 rechnen?

Das wäre das Volumen einer Pyramide. Das Volumen ist aber in der Aufgabe ein Pyramidenstumpf!

Kleiner Tipp. Fertige dir in Geogebra eine Skizze an, damit du es besser nachvollziehen kannst.

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Super, vielen Dank

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Achso, also ich stelle eine Geradengleichung für jeden Eckpunkt auf und setze r ein, um meine vier neuen Eckpunkte rauszubekommen?

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Ja. Das kannst du machen. Oder du verwendest die Symmetrie zur Geraden (-3.5 | 3.5 | z), wie ich das oben auch gesagt habe.

Answer 3

@ Mathe_Abi_21

zu c)

die Gerade g hast Du

g_A(t):=A+ t (S-A)

jetzt gehen wir von einem Punkt der Geraden g_A(t) um den vektor (0,0,-17/3) runter, also

A'=g_A(t) + (0,0,-17/3)

A'=((-7) / 2 t, 7 / 2 t, 397 / 20 t - 17 / 3) , (bis runter)

===> z=0: 397 / 20 t - 17 / 3=0

===> t = 340/1191

A'=g_A( 340/1191)=((-1, 1, 17 / 3)=(-1, 1, 5.666666666667)

t in die anderen Geraden ergibt die Grundfläche des Stumpfes..

Rest klar?