Deine Rechnungen stimmen nicht so ganz.
...= 3 * 3 * 3 ( T (n - 2 - 1) + 1) + 1) + 1=...
In dieser Zeile hast du die Klammerung nicht mehr richtig. Es muss wenn dann so hier aussehen:
T(n)=3⋅T(n−1)+1T(n−1)=3⋅(n−2)+1T(n−2)=3⋅T(n−3)+1T(n)=3⋅(3⋅(3⋅T(n−3)+1)+1)+1
So deine Rekursionsgleichung zu lösen halte ich für etwas riskant, da man sich einfach zu schnell vergucken kann. Mache es stattdessen andersherum, indem du einfach mal die ersten n=1,2,3,4,5 zB mal anschaust:
T(2)=3⋅T(1)+1=3⋅1+1=31+30
T(3)=3⋅T(2)+1=3⋅(3⋅1+1)+1=32+31+30.
Ich denke, ab hier sollte dann eine Struktur erkennbar sein, die du dann in eine hübsche Formel eintüten kannst, und sie nur noch per Induktion beweisen musst.
Edit: Das T(n)∈θ(3n) gilt, kannst du ja entsprechend mit der Landau-Definition nochmal verifizieren.