wie kann man lim unendlich ((x+1)/(x-1))^x berechnen?

Question

Aufgabe:

Gesucht ist  \( \lim\limits_{x\to\infty} \)  \( (\frac{x+1}{x-1})  ^{x} \)

Problem/Ansatz:

mein Ansatz bis jetzt:

ich habe versucht die Potentz mit +1 und -1 einsetzen, damit der Nenner gleich mit die Potenz ist. Aber ich gehe nicht weiter.

Vielleicht ein Tips wie man das Problem lösen kann? oder ein erster Schritt?

Answer 1

lim (x → ∞) ((x + 1)/(x - 1))^x

= lim (x → ∞) ((x - 1 + 2)/(x - 1))^x

= lim (x → ∞) (1 + 2/(x - 1))^x

= lim (x → ∞) (1 + 2/(x - 1))^(x - 1) * (1 + 2/(x - 1)) = e^2 * 1 = e^2

Comments

Sorry. Hier waren noch Überbleibsel aus der alten Frage drin die ich jetzt gelöscht habe. So ist das die Beantwortung dieser Frage.

Answer 2

Verwende: a^b = e^(b*lna) und bestimme den Grenzwert des Exponenten.

Comments

x·ln\( \frac{x+1}{x-1} \)  hat übrigens den Grenzwert 2 (für n→∞).

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woher kommt 2? Können Sie ein bisschen für mich erklären?

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Am besten stellst du die neue Frage \( \lim\limits_{x\to\infty} \) (x·ln\( \frac{x+1}{x-1} \)) noch einmal gesondert.

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Das braucht er nicht nochmals stellen. Die Frage ist denke ich schon mehrfach beantwortet worden.

z.B.

https://www.mathelounge.de/37400

https://www.mathelounge.de/201360

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Tatsächlich: Da findet cruxial die Antwort auf seine Frage (im Kommentar).

Answer 3

(x(1)/(x-1))=(1+2/(x-1))^x

=(1+2/(x-1))^{x-1+1}

=(1+2/(x-1))^{x-1}*(1+2/(x-1))^{1}

und das strebt gegen e^2 gemäß Definition.

Comments

Schreibfehler? (x(1)/(x-1))=(1+2/(x-1))^x