Das Geburtsgewicht von Kindern sei normalverteilt mit μ=3.41 kg und σ^2=0.4225 kg^2

Question

Das Geburtsgewicht von Kindern sei normalverteilt mit μ=3.41 kg und σ² =0.4225 kg² 
Genau 61% der geborenen Kinder wiegen mehr als …kg?

  Verwenden Sie für die Berechnung die Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Lösung: 3.23

Kann mir hier bitte jemand erklären, wie hier vorgegangen wird?

Ich kann mit dieser Lösung

Bsp.: Φ((x-0.13)/0.41) = 0.7 ⇔ (x-0.13)/0.41 ≈ 0.516 ⇔  x ≈ 0.342

leider noch nicht viel anfangen, aber wie wird hier vorgegangen & wo muss ich hier in der Tabelle nachschauen?

Bitte Schritt für Schritt.

Wie wäre es bei der Fragestellung weniger als / mehr als?

Answer 1

Die Rechnung wäre

-0.28*√(σ^2)+μ

hier also

-0.28*sqrt(0.4225)+3.41 = 3.228.

Der Faktor 0.28 wird als derjenige z-Wert der Tabelle entnommen, der am nächsten an der Wahrscheinlichkeit 0.61 liegt. Das Minus davor ergibt sich mit der Symmetrie der Standardnormalverteilung daraus, dass die Tabelle immer Wahrscheinlichkeiten von "höchstens als"-Intervallen liefert, wir aber "mehr als" brauchen.

Answer 2

σ = √0.4225 = 0.65

Der Ansatz ist wie folgt:

P(X > k) = 1 - Φ((k - 3.41)/0.65) = 0.61

Das muss jetzt nach k aufgelöst werden

1 - Φ((k - 3.41)/0.65) = 0.61

-Φ((k - 3.41)/0.65) = -0.39

Φ((k - 3.41)/0.65) = 0.39

Das wird jetzt in der Tabelle der Standardnormalverteilung abgelesen. (z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle)

(k - 3.41)/0.65 = Φ^{-1}(0.39) = -Φ^{-1}(1 - 0.39) = -Φ^{-1}(0.61) = -0.28

k - 3.41 = -0.28·0.65 = -0.182

k = -0.182 + 3.41 = 3.228

Dabei brauchen natürlich nicht alle Zwischenschritte ausführlich notiert werden. Ich habe das hier nur gemacht damit du es verstehst.

Answer 3

Aloha :)

Genau 61% der Kinder wiegen mehr als ... kg. Also wiegen 39% der Kinder bis zu ... kg. Aus einer Tabelle zur Standardnormalverteilung \(\Theta(z)\) enthehmen wir:

$$\Theta(-0,2793)=0,39$$Dieses \(\Theta(z)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass man Werte von \(-\infty\) bis zu \(z\) findet. Deswegen suchten wir das z für 0,39 und nicht das z für 0,61.

Wir müssen nun das \(x\) finden, was zu diesem \(z\)-Wert passt:

$$-0,2793=z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-3,41}{\sqrt{0,4225}}=\frac{x-3,41}{0,65}$$$$\Rightarrow\quad x=3,41-0,2793\cdot0,65\approx3,23$$