Die Parabel rotiert um die y-Achse

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Die Parabel rotiert um die y-Achse

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Ein anderes Problem?

Tschakabumba · Answer 1 · 2019-09-16T14:42:53+0000

Aloha :)

Das Glas entsteht daraus, dass die Parabel $y=\frac{3}{8}x^2+1$ um die y-Achse rotiert wird. Da immer $x^2\ge0$ ist, muss der tiefste Punkt der Parabel $S(0;1)$ sein. Wir müssen nun die Höhe $h$ des Rotationskörpers bestimmen, bei dem das Volumen genau 0,25 VE entspricht:

$$V=\pi\int\limits_1^{h+1}x^2\,dy=\pi\int\limits_1^{h+1}\left(\frac{8}{3}(y-1)\right)\,dy=\pi\left[\frac{4}{3}y^2-\frac{8}{3}y\right]_1^{h+1}$$$$\phantom{V}=\pi\left[\frac{4}{3}(h+1)^2-\frac{8}{3}(h+1)-\left(\frac{4}{3}-\frac{8}{3}\right)\right]=\frac{4}{3}\pi\left[(h+1)^2-2(h+1)+1\right]$$$$\phantom{V}=\frac{4}{3}\pi\left(h+1-1\right)^2=\frac{4}{3}\pi\,h^2$$Für $h=12$ erhalten wir das bekannte Volumen $192\pi$. Also stimmt schon mal die Berechnung. Nun müssen wir $h$ so bestimmen, dass $V=0,25\,l=250cm^3$ ist:

$$250=V=\frac{4}{3}\pi\,h^2\;\;\Rightarrow\;\;h^2=250\,\frac{3}{4\pi}\;\;\Rightarrow\;\;\boxed{h\approx7,725}$$Du siehst, auch meine Antwort passt nicht. Das Problem ist, dass die Höhe des Glases bei der Aufgabe durcheinander geworfen wird. Damit das Volumen bei 12cm Höhe $192\pi$ ist, muss man die Höhe ab dem Minimum $S(0;1)$ der Parabel auf Höhe $y=1$ rechnen. Nimmt man diese Berechnung als Grundlage, lautet die Lösung für 1/4 Liter $h=7,725$, aber ebenfalls gemessen ab dem Minimum $S(0;1)$. Die "Höhe" aus der Musterlösung des Buches wird offensichtlich ab $y=0$ berechnet, berücksichtigt also noch den Stil des Glases.

Werner-Salomon · Answer 2 · 2019-09-16T14:45:41+0000

Das Glas sieht im Querschnitt so aus:

~plot~ 3x^2/8+1;{0|1};{4|7};13;8.725;[[-10|12|-1|14]] ~plot~

Ich unterstelle mal, dass sich der Wert von $h$ auf das oben angegebene Koordinatensystem bezieht, d.h. der Boden des Glasses beginnt erst bei $h=1$. Dann ist das Volumen $192\pi$ bei $h=12+1=13$ erreicht!

Das Volumen $V(h)$ im Glas, was bis zur Höhe $h$ gefüllt ist, lässt sich berechnen aus $$V(h) = \int_1^{h} A(y) \,\text{d} y$$Dabei ist $A(y)$ die Querschnittsfläche (Kreisfläche) in der Höhe $y$. Es folgt$$y = \frac 38 x^2 + 1 \implies x^2 = \frac 83(y-1)\\ A(y) = \pi x^2 = \pi \frac {8}3(y-1)$$Einsetzen in die Gleichung für das Volumen gibt$$V(h) = \int_1^{h} A(y) \,\text{d}y \\ \quad = \int_1^{h} \pi \frac {8}3(y-1) \,\text{d}y \\ \quad = \frac{8 \pi}3 \left[ \frac 12 y^2 - y\right]_1^h \\ \quad = \frac{8 \pi}3 \left[ \frac 12 h^2 - h - \left( \frac 12 - 1\right)\right] \\ \quad = \frac{4 \pi}3 \left( h^2 -2h +1 \right) = \frac{4 \pi}3 \left( h-1 \right)^2$$und dieses Volumen soll gleich 250 sein. Demnach ist$$h = \sqrt{\frac{250 \cdot 3}{4 \pi}} + 1 = 5\sqrt{\frac {15}{2\pi}} + 1 \approx 8,725$$

Nachtrag: das Volumen wächst quadratisch mit der (Netto-)höhe des Glases. Es gilt also $$\begin{aligned}192 \pi &= k \cdot 12^2 \\ 250 &= k \cdot (h-1)^2\end{aligned}$$Demnach erreicht die Höhe bei 250cm² den Wert:$$h- 1 = 12 \sqrt{ \frac{250}{192 \pi}} = 5\sqrt{\frac {15}{2\pi}} \approx 7,725$$... ganz ohne Integralrechnung. Natürlich nur, wenn die Aufgabenstellung korrekt ist.

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