Ursprung,einen Wendepunkt und Punkt A

Question

Aufgabe:

Der Graph einer Polynomfunktio. 3 Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und geht durch den Punkt A(2/ 2/3).

Im  Punkt a hat der Graph von f die Steigung k=3.

Problem/Ansatz:

Berechnen die Funktionsgleichung.

Wie sieht LGS in dieser Aufgabe aus?

!

Answer 1

Der Graph einer Polynomfunktion 3 Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt

==>   f(0) = 0 und   f ' ' (0) = 0

geht durch den Punkt A(2/ 2/3) un d hat im  Punkt A  die Steigung k=3.

==>  f(2) = 2/3  und  f ' (2 ) = 3

mit f(x) =ax^3 + bx^2 + cx + d gibt das

       f(0) = 0   ==>   d=0                   *

      f ' ' (0) = 0  ==>  2b=0              **

       f(2) = 2/3  ==>  8a + 4b + 2c + d = 2/3

           wegen * und ** also     8a  + 2c = 2/3

 und  f ' (2 ) = 3 ==>   12a + 4b + c = 3 bzw.   12a + c = 2

Also mit   4a  + c = 1/3   und 12a + c = 2  ==>   8a = 5/3 ==>   a = 5/24

und c = -0,5.

==>  f(x) =  5/24 x^3 - 1/2 x

Answer 2

Wegen Punktsymmetrie genügt der Ansatz f(x)=ax³+bx

                                                                   f' (x)=3ax²+b

f(2)=3 also     (1) 3=8a+2b

f '(2)=3  also  (2) 3=12a+b