Doppelverhältnis von Punkten berechnen

Question

Das Doppelverhältnis [p, q;r, s]der Punkte p= [1 : 1], q= [1 : 2], r= [2 : 3], s= [2 : 1] ist gleich −3.

In der Lösung steht dazu

Dies kann mittels der TransformationT: P¹→P¹ ,[x:y]→→[2x−y: 3x−3y] berechnet werden, welche T(p) = [1 : 0], T(q) = [0 : 1] und T(s) = [1 : 1] erfüllt. Hierbei ist T(r) = [1 :−3].

Kann mir jemand erklären wie ich auf diese Transformation komme? Leider check ich die Lösung nicht.

Comments

Mir ist nicht mal die Frage klar

Das Doppelverhältnis [p, q;r, s]der Punkte p= [1 : 1], q= [1 : 2], r= [2 : 3], s= [2 : 1] ist gleich −3.

Ich denke das ist eine Aussage. Das ist weder eine Frage noch eine Anweisung. Was ist also genau die Fragestellung?

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Er will wissen, warum man ausgerechnet die irgendwie "vom Himmel gefallene" Transformation 

[x:y]→→[2x−y: 3x−3y]

verwendet.

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Es muss gelten

[a, b; c, d]·[1; 1] = r·[1; 0]
[a, b; c, d]·[1; 2] = s·[0; 1]
[a, b; c, d]·[2; 1] = t·[1; 1]

Daraus ergibt sich z.B.

a + b = r
a + 2·b = 0
2·a + b = t

Und daraus die Lösung

a = 2·t/3 ∧ b = - t/3 ∧ r = t/3

Mit t = 3 also

a = 2 ∧ b = -1 ∧ r = 1

So macht man das noch für c und d und bekommt die lineare Abbildung.

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Wenn \(T:= (x;\,y) \to (2x-y;\, 3x-3y) \), dann stimmen zwar die Angaben für \(T(p)\) und \(T(r)\), aber \(T(q) = (0;-3) \ne (0;\,1)\) und \(T(s)=(3;\, 3) \ne (1;\,1)\).

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@Werner-Salomon

Dort stehen keine Vektoren sondern Verhältnisse

0 : -3 ist das Gleiche Verhältnis wie 0 : 1

Bei mir habe ich das mit den Parametern r, s und t berücksichtigt.

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.. Ah! jetzt dämmert es langsam, das sind Verhältnisse und keine Koordinaten! Dann stimmen die Angaben!

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Ok danke. Leider verstehe ich genau die ersten Gleichunge nicht. Wie kommt man darauf, dass gilt

[a, b; c, d]·[1; 1] = r·[1; 0]
[a, b; c, d]·[1; 2] = s·[0; 1]
[a, b; c, d]·[2; 1] = t·[1; 1]

Answer 1

Leider verstehe ich genau die ersten Gleichunge nicht. Wie kommt man darauf, dass gilt
[a, b; c, d]·[1; 1] = r·[1; 0]

Du hast gegeben

T(p) = [1 : 0] wenn wir hier also p einsetzen
T([1 : 1]) = [1 : 0]

Comments

Nein leider nicht. Ich habe nur das gegeben

Berechnen Sie das Doppelverhältnis [p, q;r, s]der Punkte p= [1 : 1], q= [1 : 2], r= [2 : 3], s= [2 : 1].

Der restliche Teil steht nur in der Lösung dazu

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Ist schon klar. Auf der rechten Seite steht aber immer [1 : 0] ; [0 : 1] sowie [1 : 1].

Das solltet ihr auch so in der Vorlesung besprochen haben.