Aloha :)
Gesucht sind die Quellen \(\text{div}\,(\vec A\times\vec B)\) und Wirbel \(\text{rot}\,(\vec A\times\vec B)\) von zwei quellen- und wirbelfreien Vektorfeldern \(\vec A\) und \(\vec B\). Ich rechne mit dem Nabla-Operator \(\nabla\), damit ich nicht so viel schreiben muss. Das Vektorfeld, auf das der Nabla-Operator wirkt, habe ich mit einem kleinen Pfeil als Index versehen.
Fangen wir mit den Qullen an. Dazu brauchen wir die Regel, dass man beim Spatprodukt die Vektoren zyklisch vertauschen kann: \(\vec a\cdot(\vec b\times c)=\vec b\cdot(\vec c\times a)=\vec c\cdot(\vec a\times b)\).
$$\nabla\cdot(\vec A_\uparrow\times\vec B_\uparrow)=\nabla\cdot(\vec A_{\uparrow}\times\vec B)+\nabla\cdot(\vec A\times\vec B_\uparrow)=\vec B\cdot(\nabla\times\vec A_{\uparrow})+\vec A\cdot(\vec B_\uparrow\times\nabla)$$$$\phantom{\nabla\cdot(\vec A_\uparrow\times\vec B_\uparrow)}=\vec B\cdot(\nabla\times\vec A_{\uparrow})-\vec A\cdot(\nabla\times\vec B_\uparrow)=\vec B\cdot\vec 0-\vec A\cdot\vec 0=0$$Da beide Vektorfelder wirbelfrei sind, verschwinden ihre Rotationen.
Weiter geht es mit der Rotation. Hier nutzen wir, dass \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=\vec b(\vec a\vec c)-\vec c(\vec a\vec b)\).
$$\nabla\times(\vec A_\uparrow\times\vec B_\uparrow)=\nabla\times(\vec A_{\uparrow}\times\vec B)+\nabla\times(\vec A\times\vec B_\uparrow)$$$$\phantom{\nabla\times(\vec A_\uparrow\times\vec B_\uparrow)}=\vec A_{\uparrow}(\nabla\cdot\vec B)-\vec B(\nabla\cdot\vec A_\uparrow)+\vec A(\nabla\cdot\vec B_\uparrow)-\vec B_\uparrow(\nabla\cdot\vec A)$$$$\phantom{\nabla\times(\vec A_\uparrow\times\vec B_\uparrow)}=(\vec B\cdot\nabla)\vec A_{\uparrow}-\vec B(\nabla\cdot\vec A_\uparrow)+\vec A(\nabla\cdot\vec B_\uparrow)-(\vec A\cdot\nabla)\vec B_\uparrow$$$$\phantom{\nabla\times(\vec A_\uparrow\times\vec B_\uparrow)}=(\vec B\cdot\nabla)\vec A_{\uparrow}-(\vec A\cdot\nabla)\vec B_\uparrow$$Da die beiden Vektorfelder quellenfrei sind, verschwinden ihre Divergenzen.
