Parabel Scheitelpunkt berechnen mit zwei Termen

Question

Aufgabe:

Ich habe die Funktionsgleichung       - 1/4x² + 2x

Durch Nullstellung habe ich die Punkte   x1 = 0  und  x2 = 8   errechnet.

Da der Scheitelpunkt auf der x-Achse genau zwischen 0 und 8 liegen muss, komme ich auf 4.

Den y-Achsenwert versuchte ich durch Einsetzen eines x-Wertes auszurechnen, wobei aber ein zur Parabelzeichnung unpassendes Ergebnis herauskam (-32). Da muss eine 4 als y-Wert stehen!

Wie komme ich jetzt zu dem y-Achsenwert des Scheitelpunktes?

Answer 1

Wenn eine Parabel  2. Grades zwei Nullstellen besitzt, liegt der x-Wert des Scheitelpunktes genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, da die Kurve achsensymmetrisch ist.

Also muss bei deiner Aufgabe x_S bei (8-0):2=4 liegen.

y_S=f(4)= - 1/4·4²+2·4=-4+8=4

Scheitelpunkt S(4|4)

Comments

Warte mal !

Muss das nicht weiterhin ein -1/4 sein?

Warum hast du das Vorzeichen geändert?

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y_{S}=f(4)=-1/4·4²+2·4=-4+8=4

Das Minuszeichen steht da doch zwischen = und 1/4 und dann bei -4+8.

-4+8 = 8- 4= +4

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Das Vorzeichen wurde nicht geändert.

f(x) = - 1/4·x^2 + 2·x

f(4) = - 1/4·4^2 + 2·4 = - 1/4·16 + 8 = - 4 + 8 = 4

S(4 | 4)

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Oh, sorry. Kannst hier live erleben, wie sehr Mathe mir den Verstand raubt. Trotzdem kriege ich den Kram am Ende ganz anständig hin ...

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Kein Problem. Wenn du dir hier die Lösungen anschaust wirst du bemerken das auch erfahrenen Leuten ab und zu kleine Fehler unterlaufen. Dafür sind wir alle Menschen.

Du hast das übrigens klasse gemacht, dass du mit der Parabelzeichnung verglichen hast und dir dadurch der Fehler aufgefallen ist.

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Ja, leider habe ich das Graphikprogramm als Krücke benutzt. Ich bin übrigens sehr froh, dass es diese Internetseite hier gibt. Mal eine andere Art, sich miteinander auszutauschen und gleichzeitig helfen zu können. Na, ich jetzt (noch) nicht so :-)

Helfen, meine ich...

Answer 2

Die FG muss die Form f(x) = -1/4 * (x-4)^2 + b haben.

Einsetzen einer der beiden NS liefert:

0 = -1/4 * (0-4)^2 + b ⇔ b = 4

Somit lautet die FG in Scheitelpunktform: f(x) = -1/4 * (x-4)^2 + 4

Comments

Danke, das sieht nach etwas mir Bekanntem aus. Da kann ich was mit anfangen.

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Die y-Koordinaten ausrechnen ist trotzdem viel einfacher, wenn man die bekannte x-Koordinate in die bekannte Funktion einsetzt.

Dann ist kein Auflösen nötig.

Die Fragestellerin hat alles prima gemacht bis auf das einsetzen in die Funktion. Aber das kann kein schwerwiegendes Problem sein was dabei auftrat.

Answer 3

Aloha :)

Du kannst die Parabelgleichung mittels quadratischer Ergänzung umformen:

$$y=-\frac{1}{4}x^2+2x=-\frac{1}{4}\left[x^2-8x\right]=-\frac{1}{4}\left[x^2-8x+\underbrace{\left(\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2}_{=0}\right]$$$$\phantom{y}=-\frac{1}{4}\left[x^2-8x+16-16\right]=-\frac{1}{4}\left[(x-4)^2-16\right]=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$$Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten \(S(4;4)\).

Comments

Ja, den Gedanken habe ich als ersten Ansatz probiert. Werde ich mir noch genauer ansehen.

Vielen Dank für Deine Antwort :-)

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Was für eine Formel hast du da benutz? Ist das die abc-Formel oder Mitternachtsformel? Wäre beides neu für mich und damit nicht Teil meiner hier geschilderten Hausaufgabe.

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Die Mitternachtsformel benötigst du für die Berechnung der Nullstellen. Das habe ich nicht gemacht. Ich habe hier die quadratische Ergänzung benutzt, um die binomische Formel anwenden zu können.

$$(x-4)^2=x^2-8x+16$$

Du hattest da nur \(x^2-8x\) stehen. Daher habe ich die 16 ergänzt, damit ich das als Quadrat schreiben kann.

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Die Umformung ist zwar richtig nur wurde der Scheitelpunkt falsch angegeben.

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Danke Coach, hab's korrigiert ;)