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Bestimmung des Charakters der Mengen
Um zu entscheiden, ob die gegebenen Mengen offen oder abgeschlossen sind, sowie ihre Hülle, ihr Inneres und ihren Rand zu bestimmen, betrachten wir jede Menge einzeln.
Menge (c) \(A = \{(x,\sin(\frac{1}{x})): x > 0\}\)
Diese Menge besteht aus Punkten in \(\mathbb{R}^2\), wobei die \(x\)-Komponente positiv ist und die \(y\)-Komponente dem Sinus von \(\frac{1}{x}\) entspricht. Da wir für jede positive \(x\)-Komponente einen Punkt in \(A\) durch den Sinuswert von \(\frac{1}{x}\) bekommen, kann die \(y\)-Komponente jeden Wert zwischen \(-1\) und \(1\) annehmen, einschließlich der Endpunkte. Allerdings, weil \(x\) nur positive Werte annimmt, und wir uns \(x=0\) nähern können, aber es nie erreichen (da \(x>0\)), ist die Menge an der \(y\)-Achse nicht abgeschlossen.
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Offen oder Abgeschlossen?: Die Menge ist weder offen noch abgeschlossen, da wir uns der \(y\)-Achse beliebig nähern können ohne sie zu berühren (wegen der Einschränkung \(x > 0\)), und weil der Wertebereich von \(\sin(\frac{1}{x})\) alle möglichen Werte zwischen -1 und 1 annimmt, schließt sie keinen ihrer Randpunkte ein.
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Hülle \(H(A)\): Die Hülle umfasst die Menge selbst und alle Punkte entlang der \(y\)-Achse von \(-1\) bis \(1\), da sich die Funktion \(\sin(\frac{1}{x})\) diesen \(y\)-Werten unendlich oft nähert, wenn \(x\) gegen Null strebt.
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Inneres \(A^\circ\): Das Innere der Menge sind wieder die Punkte von \(A\), exklusive einer Linie entlang der \(y\)-Achse, da diese nie erreicht werden.
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Rand \(\partial(A)\): Der Rand besteht aus der \(y\)-Achse von \(-1\) bis \(1\), inklusive dieser beiden Punkte, da sich die Funktion diesen Werten beliebig annähern kann, ohne sie innerhalb des Definitionsbereichs tatsächlich zu erreichen.
Menge (d) \(A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0 < x^2 + y^2 \le 2\}\)
Diese Menge beschreibt einen Kreisring um den Ursprung mit einem Radius von \(\sqrt{2}\) als äußeren Radius und einem Radius knapp größer als \(0\) (da \(x^2 + y^2 > 0\)) als inneren Radius.
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Offen oder Abgeschlossen?: Die Menge ist abgeschlossen, da sie alle ihre Randpunkte enthält, die durch \(x^2 + y^2 = 2\) gegeben sind. Der innere Teil des Kreisrings ist offen, da \(0 < x^2 + y^2\).
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Hülle \(H(A)\): Die Hülle von \(A\) ist die Menge selbst, da sie bereits alle ihre Randpunkte enthält.
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Inneres \(A^\circ\): Das Innere der Menge ist die Menge ohne den Rand, d.h. die Punkte, für die \(0 < x^2 + y^2 < 2\).
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Rand \(\partial(A)\): Der Rand der Menge sind alle Punkte, für die \(x^2 + y^2 = 2\).
Diese Analyse liefert eine detaillierte Betrachtung der Charakteristiken jeder Menge, ihres Inneren, ihrer Hülle und ihres Randes.
