Lösung einer Vektoren-Gleichung sowie Projektion

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 6\end{array}\right) \) und \( \vec{b}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 5 \\ -7\end{array}\right) \)

a) Berechnen Sie \( \vec{c}=2 \vec{a}+3 \vec{b} \) und \( \vec{d}=\frac{1}{2} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b} \)

b) Lösen Sie die Gleichung \( 3 \cdot a-\frac{1}{3} \cdot(x-2 \cdot b)=b-\frac{1}{2} x \)

c) Berechnen Sie die Projektionen \( \vec{p}_{\vec{a}}(\vec{b})=\frac{\langle\vec{a}, \vec{b}>}{|\vec{a}|^{2}} \cdot \vec{a} \) und \( \vec{p}_{b}(\vec{a})=\frac{\langle\vec{b}, \vec{a}\rangle}{|\vec{b}|^{2}} \cdot \vec{b} \)

Answer 1

zu a) Die Koordinaten eines Vektors kann man mit Konstanten einzeln multiplizieren.

Vektor c = 2*(1, -2, 6) +3*(-2, 5, -7) = (2, -4, 12) + (-6, 15, -21) = (2-6, -4+15, 12-21) = (-4, 11, -9)

analog rechnet man den Vektor d aus.

zu b) Wenn ich das richtig sehe, liegen in der Gleichung keine Vektoren vor. Sehe zumindestens kein Vektorzeichen.

Also, versuchen die Gleichung nach x aufzulösen.

Erstmal alles ausklammern: 3a - x/3 + 2*b/3 = b -x/2  | +x/2, -3a und -2b/3 ergibt

x/6 = b/3 - 3a

x = 2b - 18a

zu c) Erstmal das Produkt der Vektoren a und b bilden. Macht man indem man die multiplizierten x-, y- und z-Werte addiert:

Produkt(a,b) = 1*(-2) + (-2*5) + (6*(-7)) = -2 -10 -42 = -54

(Betrag von Vektor a)² = 1² + (-2)² + 6² = 1 + 4 + 36 = 41

(Betrag von Vektor b)² = (-2)² + 5² + (-7)² = 4 + 25 + 49 = 78

Projektion von Vektor a in Richtung Vektor b = (Produkt(a, b)/(Vektor von b)²)*Vektor b = -54/78*(1, -2, 6) = -9/13*(-2, 5, -7)

Analog verfährt man mit der Projektion von Vektor b in Richtung Vektor a =  (Produkt(a, b)/(Vektor von a)²)*Vektor a = -54/41*(1, -2, 6)

Das Ausrechnen erspare ich mir an dieser Stelle.

Hoffe, mich nicht verrechnet zu haben .-)